时频分析转换关系

在时间与频率的分析领域中，有不少的讯号的单纯使用频域或时域表示，而是同时使用时域与频域来表示。

有几种方法或转换被里昂·柯恩统整组织被称为"时频分析"，^[1][2][3]最常被使用的方法称为“二次”或“双线性时频分析”，而此类方法中，最被广泛使用的方法中以韦格纳分布为其中之一，其他的时频分布则被称为维格纳分布的折积版。另一个被广泛使用的方法为频谱图，为“短时距傅立叶转换”的平方，频谱图有着平方必为正的优点，容易由图理解，但有着不可逆的缺点，如短时距傅立叶转换不可逆计算，无法从频谱图找回原信号。而验证这些理论与定义验证可以参考“二次式时频分布理论”。^[4]

本文主题虽是讯号处理领域，但是借由量子力学的相空间来推导某些分布从A分布转换至B分布的过程。一个信号在相同的状况下，给与不同的时频分布表示方式，透过简单的平滑器或滤波器，计算出其他分布。

一般化

如果我们用变数ω=2πf，然后，借用量子力学领域中使用的符号，就可以显示该时间-频率表示，如维格纳分布函数和其它双线性时间-频率分布，可表示为

${\displaystyle C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta ,}$ (1)

${\displaystyle \phi (\theta ,\tau )}$为一定义其分布及特性之二维函数。

维格纳分布的核为一。但在一般型式里任何分布的核为一没有任何的意义，在其他状况下维格纳分布的核应为其他结果。

特征方程式

特征方程式为双傅立叶转换，从方程式(1)可以得到

${\displaystyle C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (2)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M(\theta ,\tau )&=\phi (\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du\\&=\phi (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\\end{alignedat}}}$ (3)

${\displaystyle A(\theta ,\tau )}$ 为对称模糊函数，特征方程式也可易被称为广义模糊函式。

分布之间转换关系

假设有两个分布 ${\displaystyle C_{1}}$ and ${\displaystyle C_{2}}$,个别对应核为 ${\displaystyle \phi _{1}}$ and ${\displaystyle \phi _{2}}$，特征方程式为

${\displaystyle M_{1}(\phi ,\tau )=\phi _{1}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du}$ (4)

${\displaystyle M_{2}(\phi ,\tau )=\phi _{2}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du}$ (5)

方程式(4)、(5)相除得

${\displaystyle M_{1}(\phi ,\tau )={\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\phi ,\tau )}$ (6)

方程式(6)相当重要，其结果使其连接特征方程式在有线区域内之核不为零。

欲获得两分布之间的关系，需使用双傅立叶转换并使用方程式(2)

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (7)

用${\displaystyle C_{2}}$来表示${\displaystyle M_{2}}$

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiiint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}C_{2}(t,\omega ^{'})e^{j\theta (t^{'}-t)+j\tau (\omega ^{'}-\omega )}\,d\theta \,d\tau \,dt^{'}\,d\omega ^{'}}$ (8)

可改写成

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )=\iint g_{12}(t^{'}-t,\omega '-\omega )C_{2}(t,\omega ')\,dt^{'}\,d\omega '}$ (9)

其中，

${\displaystyle g_{12}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (10)

频谱与其他双线性相互关系

我们专注于其中一个从任意代表性的频谱转换的情况，在方程式(9)中，${\displaystyle C_{1}}$为频谱图而${\displaystyle C_{2}}$ 为任意数，为了简化符号使用以下表示，${\displaystyle \phi _{SP}=\phi _{1}}$, ${\displaystyle \phi =\phi _{2}}$, ${\displaystyle g_{SP}=g_{12}}$，可被表示为

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )C(t,\omega ^{'})\,dt^{'}\,d\omega ^{'}}$ (11)

频谱图的核为

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau )e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau ){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{alignedat}}}$ (12)

令${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$, ${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )}$为窗函数，然而在${\displaystyle -\omega }$状况下得

${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )=C_{h}(t,-\omega )}$ (13)

使其核满足 ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )\,dt^{'}\,d\omega ^{'}}$ (14)

其核亦满足${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$

其证明可见Janssen[4]. 当${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )}$不等于1时，

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t^{''},\omega ^{''})C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{''}+t^{'}-t,-\omega ^{''}+\omega -\omega ^{'})\,dt^{'}\,dt^{''}\,d\omega ^{\,}d\omega ^{''}}$ (15)

${\displaystyle G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau }$ (16)