普朗特-迈耶函数

普朗特－迈耶函数（英语：Prandtl–Meyer function）是气体动力学中的一个函数，其值为一个角度，音速流（M = 1）绕外凸角转过该角度可以达到指定马赫数。对理想气体而言，普朗特－迈耶函数的表达式为

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\cdot \arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(M^{2}-1)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}\\\end{aligned}}}$

不同热容比下的普朗特－迈耶函数。虚线表示马赫数趋向于无穷大时的${\displaystyle \nu _{\text{max}}}$。

其中 ${\displaystyle \nu }$ 表示普朗特－迈耶函数，${\displaystyle M}$ 表示马赫数，${\displaystyle \gamma }$ 则表示热容比。

习惯上，马赫数为1时的积分值 ${\displaystyle \nu (1)}$ 会取为0。

马赫数的取值范围为1至${\displaystyle \infty }$，函数值的范围则为0到 ${\displaystyle \nu _{\text{max}}\,}$，其中

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}{\bigg (}{\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1{\bigg )}}$

对于等熵流动，初态与终态的马赫数${\displaystyle M_{1}}$与${\displaystyle M_{2}}$与该流动转过的角度${\displaystyle \theta }$之间的关系式为：

• 等熵膨胀：${\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})+\theta \,}$
• 等熵压缩：${\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})-\theta \,}$

参见

• 普朗特－迈耶膨胀扇

参考文献

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. Elements of Gasdynamics. Dover Publications. 2001 [1957]. ISBN 0-486-41963-0.