最大线性无关组

若向量组${\displaystyle S_{1}:\{a_{i1},a_{i2},...,a_{in}\}}$是向量组${\displaystyle S:\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}}$的一个部分组，即${\displaystyle S_{1}\subset S}$，且${\displaystyle S_{1}}$满足：

1. ${\displaystyle S_{1}}$线性无关。
2. ${\displaystyle S}$中的任一向量皆可由${\displaystyle S_{1}}$线性表示；即${\displaystyle S}$中的任一向量加到${\displaystyle S_{1}}$，皆可使${\displaystyle S_{1}}$线性相关。

则称${\displaystyle S_{1}}$是向量组${\displaystyle S}$的最大线性无关组。

性质

1. 向量组与其最大线性无关组，可互相线性表示。两向量组等价。
2. 向量组${\displaystyle S}$的任两个最大线性无关组${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$，也可互相线性表示。即${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$等价。
3. 一个向量组的任两个最大无关组所含有的向量个数相等。即向量组的秩相等。