最小实现

在控制理论中，若一个状态空间模型具有可控制性及可观测性，其输入输出特性又和特定传递函数相同，此状态空间即为传递函数的最小实现（minimal realization）^[1][2]，称为“最小”的原因是此状态空间是可以用最少状态数量来描述系统的实现^[2]。

假设一个连续时间的系统，其输入信号为${\displaystyle u(t)}$，输出信号为${\displaystyle y(t)}$，传递函数为${\displaystyle H(s)}$，传递函数和输入信号、输出信号的拉氏转换${\displaystyle U(s)}$,${\displaystyle Y(s)}$关系如下：

${\displaystyle Y(s)=H(s)\,U(s)}$

再考虑有一个输入、一个输出及${\displaystyle n}$个状态变数线性非时变系统的状态空间表示法：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=C\mathbf {x} (t)+du(t)}$

若上述的状态空间模型具有可控制性及可观测性，输入输出特性又和传递函数相同，此状态空间就是上述传递函数的最小实现。

要描述一系统所需的最小状态个数即为微分方程的阶数^[3]。也可以定义更多的状态变数，例如一个二阶系统可以用二个状态变数来描述，也可以用更多的状态变数来描述。二个状态变数即为其最小状态个数。

Gilbert实现

假定一个矩阵传递函数，可以用Gilbert方法（也称为Gilbert实现）产生最小状态空间的实现^[4]。