最简分数

最简分数，也称既约分数或不可再约分数（英语：irreducible fraction），指的是分子与分母互质的分数。

若一分数可表为${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$，且${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$（整数），${\displaystyle (p,q)=1}$，则称${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$为最简分数。假若p和q还有别的公因数，则其非最简分数。若${\displaystyle (p,q)=d}$，且设${\displaystyle p=k_{1}d,q=k_{2}d;k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$则${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}$。其中${\displaystyle {\frac {k_{1}}{k_{2}}}}$为${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$的最简分数。

最简分数也可参阅有理化分数的公式，尽量将分子和分母互为质数^[1]。每一个正有理数可以被表示为不可简化的分数^[2]。如果分数的分子和分母划分为它们的最大公因数，而这一项方法可以完全降低至最低的简化条件^[3]。为了找出分子和分母的最小公因数，当然可以使用辗转相除法或整数分解，就是要解决分数的分子和分母过大的问题^[4]。

最简分数例如${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$、${\displaystyle {\frac {4}{19}}}$或${\displaystyle {\frac {198}{17}}}$。而${\displaystyle {\frac {6}{4}}}$不是，因为${\displaystyle (6,4)=2}$，因而${\displaystyle {\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}}$

唯一性

每一个有理数没有独特性的表示正分母的不可简化分数^[2]（虽然两者${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {-2}{-3}}}$都是不可简化的分数）。唯一性是独一无二主要因子分解的结果，自从出现${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$意味着${\displaystyle ad=bc}$，因此等号的双边必须共享相同的因式分解，设主要多重的因数${\displaystyle a}$，而${\displaystyle c}$也要出现${\displaystyle a}$的子集，方可证明${\displaystyle ad=bc}$。

概括

不可简化的分数的概念可推论任何唯一分解整环之分式环：透过划分分子和分母的最大公因数，这一项元素的领域中可被写出它们的分数^[5]。特别适用越过其他领域的代数式。然而不可简化的分数在给定元素上，既使是同样的可逆元素，也是唯一较多人使用分子和分母的乘法。在有理数的情况下意旨任何数字具有两个最简分数，若跟分子和分母的正负号有关；在这种模糊的情况下可透过要求分母要被移除负号。在合理的功能的情况下，分母可以类似地被要求是一个首项^[6]。

参见

• 偶然对消：指算术上不正确的处理，但其结果恰好是正确的。
• 丢番图逼近：透过有理数中逼出实数的近似值。