有序交换群

定义

有序交换群系指一对 ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$，其中 ${\displaystyle \Gamma }$ 为交换群，${\displaystyle >}$ 为其上的一个二元关系，且满足如下条件：

• 若 ${\displaystyle a<0}$，则 ${\displaystyle -a>0}$。
• 若 ${\displaystyle a,b>0}$，则 ${\displaystyle a+b>0}$。

另一种等价的描述是：给定一个子集 ${\displaystyle \Gamma _{+}\subset \Gamma }$，使得 ${\displaystyle \Gamma _{+}}$ 对加法封闭，且 ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}}$。

若对于每个 ${\displaystyle x\in \Gamma }$ 都存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ 使得 ${\displaystyle n\cdot 1>x}$，则称 ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$ 满足阿基米德性质。

范例与基本性质

• 由上述公理可推出：对于每个 ${\displaystyle x\in \Gamma ,x\neq 0}$ 都有 ${\displaystyle x^{2}>0}$。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}}$ 都是有序交换群且满足阿基米德性质。
• 若 ${\displaystyle (\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})}$ 为有序交换群，则 ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}}$ 配合其字典序也构成一个有序交换群。
• ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$ 满足阿基米德性质的充要条件是它可以嵌入 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$。

参见

• 序理论
• 环