有界变差

有界变差（英语：Bounded variation）是函数的一个性质，它指的是总变差为有限的函数。

有界变差的理论对黎曼－斯蒂尔杰斯积分有相当的用处。

定义

设 ${\displaystyle \Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})}$，若一个定义于实数区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的函数${\displaystyle f}$ 是有界变差函数，则存在一正数 ${\displaystyle M}$，对任意在区间 ${\displaystyle [a,b]}$上的（有限）分割${\displaystyle P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}}$ 而言，有 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M}$。

另一个等价的定义为：定义一个跟函数 ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$ 相关的量如下：

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;}$

这里的符号 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 代表在闭区间 [a, b] 上所有的（有限）分割。

${\displaystyle f}$为有界变差函数当且仅当 ${\displaystyle V_{a}^{b}(f)<\infty }$。

其定义可推广至复数域乃至于任何的欧几里德空间上。

性质

• 任意单调函数都是有界变差的。
• 设${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$上满足Lipschitz条件，即存在常数${\displaystyle K>0}$，使得对于任意${\displaystyle x',x''}$，有${\displaystyle |f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|}$，则${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$上是有界变差的。
• 若${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$上连续，且在区间的内部${\displaystyle (a,b)}$可微，若对于任意在${\displaystyle f}$定义域${\displaystyle [a,b]}$的内部${\displaystyle (a,b)}$的点${\displaystyle x}$而言，存在一正实数${\displaystyle A}$使得${\displaystyle |f'(x)|\leq A}$，则${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$上是有界变差的。
• 若${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$上是有界变差的，则${\displaystyle f}$在该区间上亦是有界的。
• 若${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$上是有界变差的，则其不连续点的数量是可数的。

参见

• 总变差

参照

• T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
• http://eom.springer.de/V/v096110.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）