本构关系

在电磁学里，为了要应用宏观麦克斯韦方程组，必须分别找到${\displaystyle \mathbf {D} }$场与${\displaystyle \mathbf {E} }$场之间，和${\displaystyle \mathbf {H} }$场与${\displaystyle \mathbf {B} }$场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质，设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于，一个物质响应外场作用而产生的电极化或磁化。^[1]:44-45

本构关系式的基础建立于${\displaystyle \mathbf {D} }$场与${\displaystyle \mathbf {H} }$场的定义式：

${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)}$、

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是电极化强度，${\displaystyle \mathbf {M} }$是磁化强度。

本构关系式的一般形式为

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {D} (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}$、

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}$。

在解释怎样计算电极化强度与磁化强度之前，最好先检视一些特别案例。

自由空间案例

假设，在自由空间（即理想真空）里，就不用考虑介电质和磁化物质，本构关系式变得很简单：^[2]:2

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$、

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$。

将这些本构关系式代入宏观麦克斯韦方程组，则得到的方程组很像微观麦克斯韦方程组，当然，在得到的高斯定律方程和麦克斯韦-安培方程内，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在自由空间里，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流。

线性物质案例

对于线性、各向同性物质，本构关系式也很直接：

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$、

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu }$；

其中，${\displaystyle \varepsilon }$是物质的电容率，${\displaystyle \mu }$是物质的磁导率。

将这些本构关系式代入宏观麦克斯韦方程组，可以得到方程组

对于线性、各向同性物质的表述

名称	微分形式	积分形式
高斯定律	${\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{f}}$	${\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset (\varepsilon \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Q_{f}}$
高斯磁定律	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0}$
麦克斯韦-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}}$
安培定律 (含麦克斯韦加法)	${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {B} /\mu )=\mathbf {J} _{f}+\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$	${\displaystyle \oint _{\mathbb {L} }\ (\mathbf {B} /\mu )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=I_{f}+{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }}{\mathrm {d} t}}}$

除非这物质是均匀物质，不能从微分式或积分式内提出电容率和磁导率。通量${\displaystyle \Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }}$的方程为

${\displaystyle \Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }=\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \varepsilon \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$。

这方程组很像微观麦克斯韦方程组，当然，在得到的高斯定律方程和麦克斯韦-安培方程内，自由空间的电容率和磁导率分别被物质的电容率和磁导率替代；还有，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在均匀物质内部，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流，虽然由于不连续性，可能在表面会有面束缚电荷、面束缚电流或面极化电流。

一般案例

对于实际物质，本构关系并不是简单的线性关系，而是只能近似为简单的线性关系。从${\displaystyle \mathbf {D} }$场与${\displaystyle \mathbf {H} }$场的定义式开始，要找到本构关系式，必需先知道电极化强度和磁化强度是怎样从电场和磁场产生的。这可能是由实验得到（建立于直接测量），或由推论得到（建立于统计力学、传输力学（transport phenomena）或其它凝聚态物理学的理论）。所涉及的细节可能是宏观或微观的。这都要视问题的层级而定。

虽然如此，本构关系式通常仍旧可以写为

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$、

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu }$。

不同的是，${\displaystyle \varepsilon }$和${\displaystyle \mu }$不再是简单常数，而是函数。例如，

• 色散或吸收：${\displaystyle \varepsilon }$和${\displaystyle \mu }$是频率的函数。因果论不允许物质具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼关系式。场与场之间的相位可能不同相，这导致${\displaystyle \varepsilon }$和${\displaystyle \mu }$为复值，也导致电磁波被物质吸收。^[2]:330-335
• 非线性：${\displaystyle \varepsilon }$和${\displaystyle \mu }$都是电场与磁场的函数。例如，克尔效应^[3]和波克斯效应（Pockels effect）。
• 各向异性：例如，双折射或二向色性（dichroism）。${\displaystyle \varepsilon }$和${\displaystyle \mu }$都是二阶张量^[4]：

${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\epsilon _{ij}E_{j}}$、

${\displaystyle B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}}$。

• 双耦合各向同性（Bi-isotropy）或双耦合各向异性（Bi-anisotropy）：在双耦合各向同性物质里，${\displaystyle \mathbf {D} }$场与${\displaystyle \mathbf {H} }$场分别各向同性地耦合于${\displaystyle \mathbf {E} }$场与${\displaystyle \mathbf {B} }$场^[4]：

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} }$、

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \xi }$与${\displaystyle \zeta }$是耦合常数，每一种介质的内禀常数。

在双耦合各向异性物质里，${\displaystyle \mathbf {D} }$场与${\displaystyle \mathbf {H} }$场分别各向异性地耦合于${\displaystyle \mathbf {E} }$场与${\displaystyle \mathbf {B} }$场，系数${\displaystyle \epsilon }$、${\displaystyle \mu }$、${\displaystyle \xi }$、${\displaystyle \zeta }$都是张量。

• 在不同位置和时间，${\displaystyle \mathbf {P} }$场与${\displaystyle \mathbf {M} }$场分别跟${\displaystyle \mathbf {E} }$场、${\displaystyle \mathbf {B} }$场有关：这可能是因为“空间不匀性”。例如，一个磁铁的域结构、异质结构或液晶，或最常出现的状况是多种材料占有不同空间区域。这也可能是因为随时间而改变的物质或磁滞现象。对于这种状况，${\displaystyle \mathbf {P} }$场与${\displaystyle \mathbf {M} }$场计算为^[5][2]:14

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')}$、

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t')}$；

其中，${\displaystyle \chi _{\mathrm {e} }}$是电极化率，${\displaystyle \chi _{\mathrm {m} }}$是磁化率。

实际而言，在某些特别状况，一些物质性质给出的影响微乎其微，这允许物理学者的忽略。例如，在低场强度状况，光学非线性性质可以被忽略；当频率局限于狭窄带宽内时，色散不重要；对于能够穿透物质的波长，物质吸收可以被忽略；对于微波或更长波长的电磁波，有限电导率的金属时常近似为具有无穷大电导率的完美金属（perfect metal），形成电磁场穿透的趋肤深度为零的硬障碍。

随着材料科学的进步，材料专家可以设计出具有特定的电容率或磁导率的新材料，像光子晶体。

本构关系的演算

通常而言，感受到局域场施加的洛伦兹力，介质的分子会有所响应，从相关的理论计算，可以得到这介质的本构关系式。除了洛伦兹力以外，可能还需要给出其它作用力的理论模型，像涉及晶体内部晶格振动的键作用力，将这些作用力纳入考量，一并计算。

在介质内部任意分子的位置${\displaystyle \mathbf {r} }$，其邻近分子会被电极化和磁化，从而造成其局域场会与外场或宏观场不同。更详尽细节，请参阅克劳修斯-莫索提方程。真实介质不是连续性物质，其局域场在原子尺度的变化相当剧烈，必需经过空间平均，才能形成连续近似。

这连续近似问题时常需要某种量子力学分析，像应用于凝聚态物理学的量子场论。请参阅密度泛函理论和格林-库波关系式（Green–Kubo relations）等等案例。物理学者研究出许多近似传输方程，例如，玻尔兹曼传输方程（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程（Fokker–Planck equation）和纳维-斯托克斯方程。这些方程已经广泛地应用于流体动力学、磁流体力学、超导现象、等离子模型（plasma modeling）等等学术领域。一整套处理这些艰难问题的物理工具已被成功地发展出来。另外，从处理像砾岩（conglomerate）或叠层材料（laminate）一类物质的传统方法演变出来的“均质化方法”，是建立于以“均质有效介质”来近似“非均质介质”的方法^[6]。当激发波长超大于非均质性的尺度时，这方法正确无误^[7][8][9]。

理论得到的答案必须符合实验测量的数据。许多真实物质的连续近似性质，是靠着实验测量而得到的^[10]。例如，应用椭圆偏振技术得到的薄膜的介电性质。