在数学里,本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统 d x d t = X ( x , y ) , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),} d y d t = Y ( x , y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)} 如果存在 φ ( x , y ) {\displaystyle \varphi (x,y)} 使得 ∂ ( φ X ) ∂ x + ∂ ( φ Y ) ∂ y ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}\neq 0} 在研究区域(必须是单连通的)上几乎处处成立,那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。 Remove ads证明 运用反证法,假设研究区域为单连通的区域 D {\displaystyle D} ,其内存在对于动力系统: d x d t = X ( x , y ) , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),} d y d t = Y ( x , y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)} 的一组周期解 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ,其周期为 T {\displaystyle T} ,那么对于 Γ : x = x ( t ) y = y ( t ) 0 ≤ t ≤ T {\displaystyle \Gamma :x=x(t)\,\ y=y(t)\,\ 0\leq t\leq T} 所围成的区域 D Γ ⊂ D {\displaystyle D_{\Gamma }\subset D} ,有 ∬ D Γ ( ∂ ( φ X ) ∂ x + ∂ ( φ Y ) ∂ y ) d x d y = ∫ Γ φ ( X d y − Y d x ) {\displaystyle \iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy=\int _{\Gamma }\,\varphi (Xdy-Ydx)} = ∫ 0 T φ ( X d y d t − Y d x d t ) d t = ∫ 0 T φ ( X Y − Y X ) d t = 0 {\displaystyle =\int _{0}^{T}\,\varphi (X{\frac {dy}{dt}}-Y{\frac {dx}{dt}})dt=\int _{0}^{T}\,\varphi (XY-YX)dt=0} 但是由于使得 ∂ ( φ X ) ∂ x + ∂ ( φ Y ) ∂ y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}=0} 的点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的集合是一个测度为零的集合,所以总可以找到 φ {\displaystyle \varphi } 使得 ∂ ( φ X ) ∂ x + ∂ ( φ Y ) ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}} 在零点之外不变号。这样 ∬ D Γ ( ∂ ( φ X ) ∂ x + ∂ ( φ Y ) ∂ y ) d x d y {\displaystyle \iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy} 不可能为0,矛盾! 因此周期解不存在,定理得证。 Remove ads参见 极限环 庞加莱回归 参考资料 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,《常微分方程》(第三版),297页,高等教育出版社。 MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION,Proceedings of The American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1] Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads