润德勒坐标

相对论中，“双曲加速参考系”^{[H 1][1]}坐标构成了平直闵可夫斯基时空中重要且有用的坐标卡系统。^[2][3][4][5]狭义相对论中，一均匀加速的物体进行所谓的双曲运动（英语：hyperbolic motion (relativity)）；在其固有参考系中，该物体是静止的。这现象可与均匀重力场相应。关于平直时空中之加速度的一般性论述，参见狭义相对论中的加速度。

本文中，光速定义为c = 1，惯性坐标系为(X,Y,Z,T)，双曲坐标系则为(x,y,z,t)。这类双曲坐标系可主要分为两大类，与加速观察者位置有关：若观察者时间T = 0时位在X = 1/α（其中α为常数值的固有加速度，由共动的加速规测得），则双曲坐标系称为“润德勒坐标”（或译林德勒坐标；英语：Rindler coordinates），与之相应的是“润德勒度规”（Rindler metric）^[6]若观察者时间T = 0时位在X = 0，则双曲坐标系有时称为“穆勒坐标”（Møller coordinates）^[1]或“寇特勒-穆勒坐标”（Kottler-Møller coordinates），与之相应的是“寇特勒-穆勒度规”（Kottler-Møller metric）。^[7]透过采用雷达坐标^[8]，可得到一常与双曲运动观察者有关的替代坐标卡（Chart）。雷达坐标有时也称作“拉斯坐标”（Lass coordinates）^[9][10] 寇特勒-穆勒坐标以及拉斯坐标也常标示为润德勒坐标。^[11]

关于润德勒坐标的历史，这样的坐标系在狭义相对论发表不久后即被引入，在研究双曲运动此一概念的同时也被研究：与平直闵可夫斯基时空的关系如阿尔伯特·爱因斯坦（1907年，1912年）^{[H 2]}、马克斯·玻恩（1909年）^{[H 1]}、阿诺·索末菲（1910年）^{[H 3]}、马克斯·冯·劳厄（1911年）^{[H 4]}、亨德里克·洛伦兹（1913年）^{[H 5]}、弗里德里希·寇特勒（英语：Friedrich Kottler）（1914年）^{[H 6]}、沃尔夫冈·泡利（1921年）^{[H 7]}、Karl Bollert（1922年）^{[H 8]}、Stjepan Mohorovičić（1922年）^{[H 9]}、乔治·勒梅特（1924年）^{[H 10]}、爱因斯坦与纳森·罗森（1935年）^{[H 2]}、Christian Møller（1943年，1952年）^{[H 11]}、Fritz Rohrlich（1963年）^[12]、哈利·拉斯（英语：Harry Lass）（1963年）^[13]；与广义相对论中平直或弯曲时空的关联性：沃尔夫冈·润德勒（1960年，1966年）^[14][15]。

润德勒参考系的特征

润德勒图卡（Rindler chart），方程(1a)中${\displaystyle \alpha =0.5}$，绘于闵可夫斯基图上。虚线为润德勒视界（Rindler horizons）。

以沿${\displaystyle X}$-direction方向、常数值固有加速度${\displaystyle \alpha }$进行双曲运动的物体，其世界线为固有时${\displaystyle \tau }$以及快度${\displaystyle \alpha \tau }$的函数，关系式为：^[16]

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )}$。

其中${\displaystyle x=1/\alpha }$为常数，${\displaystyle \alpha \tau }$为变数。这样的世界线形态为双曲线${\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}}$。阿诺·索末菲^{[H 3][17]}展示了此方程组可重新表示为：${\displaystyle x}$为变数，而${\displaystyle \alpha \tau }$为常数；如此可表现出共动观察者所测量到双曲运动物体的“静止型态”。设定${\displaystyle \tau =t}$，也就是采用了观察者的固有时作为整体双曲加速参考系的时间，则惯性坐标与双曲坐标之间的转换式变为：^[6][9]

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z}$

1a

逆转换式为：

${\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z}$

对其微分并代入闵可夫斯基度规${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2}}$，则双曲加速系的度规张量为

${\displaystyle ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

1b

各种转换式

润德勒观察者