林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一个由芬兰数学家恩斯特·雷纳德·林德勒夫（英语：Ernst Leonard Lindelöf）提出一个关于黎曼ζ函数在临界线上增长率的猜想。^[1]这猜想可由黎曼猜想导出，其形式以大O符号表述如下：

对于任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，在${\displaystyle t}$趋近于无穷时，有${\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=O(t^{\varepsilon })}$

由于${\displaystyle \varepsilon }$可由一个较小的值取代之故，因此这猜想可重述如下：

对于任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，有${\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=o(t^{\varepsilon })}$

μ函数

设${\displaystyle \sigma }$是一个实数，则可定义${\displaystyle \mu (\sigma )}$为所有使得${\displaystyle \zeta (\sigma +iT)=O(T^{a})}$的实数${\displaystyle a}$当中的最小数。在这种定义下，易见对于任意的${\displaystyle \sigma >1}$，有${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$，而从黎曼ζ函数的函数方程可导出说${\displaystyle \mu (\sigma )=\mu (1-\sigma )-\sigma +{\frac {1}{2}}}$。另一方面，由夫拉门–林德勒夫定理（英语：Phragmén–Lindelöf theorem）可导出说${\displaystyle \mu }$是一个凸函数。林德勒夫猜想基本就是说，${\displaystyle \mu ({\frac {1}{2}})=0}$，将此点和上述的性质结合，这猜想也意味着说在${\displaystyle \sigma \geq {\frac {1}{2}}}$时，${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$；而在${\displaystyle \sigma \leq {\frac {1}{2}}}$时，${\displaystyle \mu (\sigma )={\frac {1}{2}}-\sigma }$

由于${\displaystyle \mu (1)=0}$且${\displaystyle \mu (0)={\frac {1}{2}}}$，因此从林德勒夫对这函数的凸性可导出说${\displaystyle 0\leq \mu ({\frac {1}{2}})={\frac {1}{4}}}$。之后G·H·哈代借由将外尔估计指数和（英语：Exponential sum）的方式用于近似函数方程的做法，将这上界降至${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$。在那之后数名研究者用长且技术性的数学证明，将之降到稍微低于${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$的数值。下表显示了对于这数值的改进：

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	研究者
1/4	0.25	Lindelöf[2]	凸性上界
1/6	0.1667	Hardy & Littlewood[3][4]
163/988	0.1650	Walfisz 1924[5]
27/164	0.1647	Titchmarsh 1932[6]
229/1392	0.164512	Phillips 1933[7]
	0.164511	Rankin 1955[8]
19/116	0.1638	Titchmarsh 1942[9]
15/92	0.1631	Min 1949[10]
6/37	0.16217	Haneke 1962[11]
173/1067	0.16214	Kolesnik 1973[12]
35/216	0.16204	Kolesnik 1982[13]
139/858	0.16201	Kolesnik 1985[14]
9/56	0.1608	Bombieri & Iwaniec 1986[15]
32/205	0.1561	Huxley[16]
53/342	0.1550	Bourgain[17]
13/84	0.1548	Bourgain[18]

和黎曼猜想间的关系

Backlund^[19]在1918至1919年间，证明了说林德勒夫猜想和下述与黎曼ζ函数的零点相关的叙述等价：在${\displaystyle T}$趋近于无穷时，实部至少为${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\varepsilon }$且虚部介于${\displaystyle T}$和${\displaystyle T+1}$之间的零点，其数量会趋近于${\displaystyle o(\log {T})}$。

由于黎曼猜想指称在这区域中没有任何零点之故，因此黎曼猜想会导出林德勒夫猜想。目前已知虚部介于${\displaystyle T}$和${\displaystyle T+1}$之间的零点的数量为${\displaystyle O(\log {T})}$，因此林德勒夫猜想似乎只稍强于已知的结果，但尽管如此，人们迄今依旧无法证明林德勒夫猜想。

黎曼ζ函数的幂的平均值

林德勒夫猜想与以下陈述等价：

对于任意的正整数${\displaystyle k}$和正实数${\displaystyle \varepsilon }$而言，有以下等式：

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon })}$

目前已证明这等式对${\displaystyle k=1}$及${\displaystyle k=2}$成立，但${\displaystyle k=3}$的情况似乎困难许多，且依旧是个未解决的问题。

对于这积分的非病态行为，有着下列更加精确的猜想：

一般认为，对某些常数${\displaystyle c_{k,j}}$而言，有以下等式：

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

李特尔伍德证明了${\displaystyle k=1}$的情况，而希斯-布朗^[20]借由推广英厄姆（Ingham）找到首项系数的结果^[21]，证明了${\displaystyle k=2}$的情况。

Conrey和Ghosh^[22]推测，在${\displaystyle k=6}$时首项系数应当为

${\displaystyle {\frac {42}{9!}}\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)}$

而Keating和Snaith^[23]利用随机矩阵理论，对${\displaystyle k}$更大的情况的系数的值做出了一些猜测。目前猜想这积分的首项系数的值是某个初等因子、质数的某种乘积，和由下列数列给出的${\displaystyle n\times n}$杨表的数字彼此间的乘积：

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... （OEIS数列A039622）

其他后果

设${\displaystyle p_{n}}$为第${\displaystyle n}$个质数，并设${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$为质数间隙，则一个由阿尔伯特·英厄姆（英语：Albert Ingham）证明的结果显示，若林德勒夫猜想成立，则对于任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，当${\displaystyle n}$足够大（英语：Eventually (mathematics)）时，有以下不等式：

${\displaystyle g_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }}$

对于质数间隙，一个比英厄姆的结果更强的猜想是克拉梅尔猜想，其陈述如下：^[24][25]

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right).}$

密度假说

已知的无零点区域，略合于此张图的右下角；而若黎曼猜想得证，就会将整张图给压缩到x轴上，也就是${\displaystyle A_{RH}(\sigma >1/2)=0}$。在另一边，此图中的上界${\displaystyle A_{DH}(1-\sigma )=2(1-1/2)=1}$与从黎曼-冯·曼戈尔特公式（英语：Riemann–von Mangoldt formula）得出的显著上界相合。（也有其他各式各样的估计^[26]）

密度假说指称${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{2(1-\sigma )+\varepsilon }}$，其中${\displaystyle N(\sigma ,T)}$是${\displaystyle \zeta (s)}$的零点${\displaystyle \rho }$在${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)\geq \sigma }$以及${\displaystyle |{\mathfrak {I}}(s)|\leq T}$所构成的范围内的数量，且这假说可由林德勒夫猜想得出。^[27][28]

更一般地，设${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{A(\sigma )(1-\sigma )+\varepsilon }}$，则已知这界限大致和长度为${\displaystyle x^{1-1/A(\sigma )}}$的短区间当中的质数的渐进公式相合。^[29][30]

英厄姆（英语：Albert Ingham）在1940年证明说${\displaystyle A_{I}(\sigma )={\frac {3}{2-\sigma }}}$，^[31]赫胥黎（英语：Martin Huxley）在1971年证明说${\displaystyle A_{H}(\sigma )={\frac {3}{3\sigma -1}}}$；^[32] 而古斯（英语：Larry Guth）及梅纳德在2024年的一篇预印本中证明说${\displaystyle A_{GM}(\sigma )={\frac {15}{5\sigma +3}}}$^[33][34][35]并证明说这些公式和${\displaystyle \sigma _{I,GM}=7/10<\sigma _{H,GM}=8/10<\sigma _{I,H}=3/4}$相契合。因此古斯和梅纳德近期的成果给出了已知最接近${\displaystyle \sigma =1/2}$、符合一般对黎曼猜想期望的数值，并将其界限改进至${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{{\frac {30}{13}}(1-\sigma )+\varepsilon }}$，或等价地，非病态地和${\displaystyle x^{17/30}}$成比例。

在理论上，贝克、哈曼（英语：Glyn Harman）和平茨（匈牙利语：Pintz János）三氏对勒让德猜想的估计的改进、对没有西格尔零点的区域的估计，以及其他的事情也是可期待的。

L函数

黎曼ζ函数属于一类被称为L函数的一类更加一般的函数。

在2010年，约瑟夫·伯恩斯坦（英语：Joseph Bernstein）及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）给出了估计定义在${\displaystyle PGL(2)}$之上的L函数的次凸性值的方法；^[36]同一年，阿克沙伊·文卡泰什及飞利浦·麦可（英语：Philippe Michel (number theorist)）给出了估计定义在${\displaystyle GL(1)}$和${\displaystyle GL(2)}$之上的L函数的次凸性值的方法；^[37]而在2021年，保罗·尼尔森（Paul Nelson）估计定义在${\displaystyle GL(n)}$之上的L函数的值的方法。^[38][39]

参见

• Z函数（英语：Z function）中的林德勒夫猜想