柯尼希-费舍尔展开

柯尼希-费舍尔展开(Cornish-Fisher expansion)是一种渐近展开式，用于逼近一个概率分布的分位数 ^[1]。这个展开成立时，它可以比中心极限定理提供更精确的分位数逼近。

每一个Cornish-Fisher展开的成立与否，依赖于其相应的Edgeworth展开的正确性。Cornish-Fisher展开是其对应的Edgeworth展开的逆^[2]。

这个展开以E. A. Cornish和著名统计学家R. A. 费舍尔命名，他们于1937年发明该方法^[3][4]。

表达式和系数的计算方法

最简单的定义Cornish-Fisher展开表达式的方式是待定系数法^[2]。假设我们有来自某分布 ${\displaystyle {\cal {F}}}$ 的独立同分布随机变量 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ，现在要估计总体的某个泛函 ${\displaystyle \theta =\theta ({\cal {F}})}$ ，假设 ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ 是基于样本的一个估计，并且对该估计，成立以下的 ${\displaystyle K}$ 阶Edgeworth展开

${\displaystyle \mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )\leq x)=\Phi (x)+\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot \Gamma _{k}(x)\right\}\cdot \varphi (x)+O(n^{-(K+1)/2})}$

其中 ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ 和 ${\displaystyle \varphi (\cdot )}$ 分别是标准正态分布的CDF和PDF， ${\displaystyle \Gamma _{k}(\cdot )}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的多项式，余项表示的是一致误差界，即它是精确分布和逼近分布的 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ 距离。

那么对任何给定的 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ，枢轴变量 ${\displaystyle n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )}$ 的下 ${\displaystyle \alpha }$ 分位数 ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$ 可以由下列Cornish-Fisher展开逼近：

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\alpha }:=z_{\alpha }-\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(z_{\alpha })\right\}\cdot \varphi (z_{\alpha })}$

其中 ${\displaystyle z_{\alpha }}$ 是标准正态分布的下 ${\displaystyle \alpha }$ 分位数，系数 ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{k}(y)}$ 从以下的式子以待定系数法逐个解出

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y))=\Phi (y)+O(n^{-1})\\\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)-n^{-1}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{2}(y))=\Phi (y)+O(n^{-3/2})\\\cdots &\cdots \\\mathbb {P} {\Bigg (}n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(y){\Bigg )}=\Phi (y)+O(n^{-(K+1)/2})\end{aligned}}}$

例如，解第一个方程时，将 ${\displaystyle x=y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)}$ 代回到Edgeworth展开里， ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)}$ 的解是（唯一的）能消去 ${\displaystyle n^{-1/2}}$ 阶项的表达式。

性质

一般来说，Cornish-Fisher展开与它所来自的Edgeworth展开拥有相同的逼近阶数和一致误差项，除非该Edgeworth展开带有跳跃点^[2]。