标量投影

数学里，标量投影（scalar projection）是两个向量之间，结果为标量的一种运算。向量${\displaystyle \mathbf {a} }$在向量${\displaystyle \mathbf {b} }$上的标量投影，可以用下式表示：

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,}$

a在b上的标量投影，若0° ≤ θ ≤ 90°，标量投影的值和其向量投影的量值相等

a在b上的向量投影（a₁），以及a在b上的向量排斥（vector rejection，a₂

其中运算子${\displaystyle \cdot }$是点积，${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$是${\displaystyle \mathbf {b} }$方向的单位向量，${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$是${\displaystyle \mathbf {a} }$的长度，${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle \mathbf {a} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$之间的夹角^[1]。

标量投影是标量，等于${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$方向投影的长度，若投影和${\displaystyle \mathbf {b} }$方向相反，标量投影会有负号。

将${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$上的标量投影，乘以${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$即可得到上述的投影向量，也称为${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$上的向量投影。

以角度θ为基础的定义

若${\displaystyle \mathbf {a} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$的夹角${\displaystyle \theta }$已知，${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$上的标量投影可以用以下方式计算

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .}$（s等于图中的${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$）

在标量投影已知时，也可以用上述公式求夹角θ。

以向量a和b的定义

若不知道${\displaystyle \theta }$，可以用${\displaystyle \mathbf {a} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$，配合以下的点积公式${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$，计算${\displaystyle \theta }$的余弦：

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta }$

依此性质，标量投影${\displaystyle s}$的定义可以写成：

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,}$

性质

若${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }}$，标量投影为负。若夹角小于90°，其数值等于向量投影的大小。若向量投影用${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$表示，其长度为${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$，则：

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$，若${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }}$时

${\displaystyle s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$，若${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }}$时

相关条目

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• 叉积
• 向量投影

来源

• Dot products - www.mit.org
• Scalar projection - Flexbooks.ck12.org
• Scalar Projection & Vector Projection - medium.com
• Lesson Explainer: Scalar Projection | Nagwa