梅尔刻度

梅尔刻度（又称Mel尺度，英语：Mel scale）是一种基于频率定义的非线性刻度单位，表示人耳对音高(pitch)等距变化的感官，由Stevens（英语：Stanley Smith Stevens）、Volkman（英语：John Volkman） 和Newman于1937年命名。^[1]

梅尔与赫兹的对应图

A440 Play^ⓘ. 440 Hz = 549.64 mels

梅尔刻度与线性的频率刻度赫兹(Hz)之间可以进行近似的数学换算。一个常用的将${\displaystyle f}$赫兹转换为${\displaystyle m}$梅尔的公式是：^[2]

${\displaystyle m=2595\log _{10}\left(1+{\frac {f}{700}}\right)}$

梅尔刻度将1000Hz，且高于人耳听阈值40分贝的声音信号，定为1000mel的参考点。在频率500Hz以上时，随着频率的增加，人耳每感觉到等量的音高变化，所需要的频率变化愈来愈大。这导致在赫兹刻度500Hz往上的四个八度(一个八度即为两倍的频率)，只对应梅尔刻度上的两个八度。Mel的名字来源于单词melody，表示这个刻度是基于音高比较而被创造的。

历史和其他公式

历史上，存在过各种各样的转换公式。^[3] 在O'Shaugnessy的书中的常用公式选用不同的对数底可以有不同的表达式：

${\displaystyle m=2595\log _{10}\left(1+{\frac {f}{700}}\right)=1127\log _{e}\left(1+{\frac {f}{700}}\right)\ }$

对应的逆变换公式是：

${\displaystyle f=700(10^{m/2595}-1)=700(e^{m/1127}-1)\ }$

自从Steinberg于1937年出版的基于最小可觉差音高的刻度曲线和表格^[4] 后，还有许多其他曲线通过不同的实验方法和分析途径被提出，如Fletcher和Munson在1937年^[5] ，Fletcher在1938年^[6] ，Steven于1937年^[1] 以及 Stevens 和 Volkmann于1940年^[7] 分别给出的曲线。

在1949年，Koenig发表了一个基于独立的线性部分和对数部分的近似值，取1000Hz作为两个部分的分界点。^[8]

Gunnar Fant于1949年发表了当前流行的线性\对数公式，但是有1000Hz的截止频率(corner frequency)。^[9] Fant于1968年发表了该公式的另一种与对数的底数的选择无关的形式：^[10][11]

${\displaystyle m={\frac {1000}{\log(2)}}\log \left(1+{\frac {f}{1000}}\right)\ }$

1976年，Makhoul与Cosell发表了现在流行的版本，截止频率取为700Hz。^[12] Ganchev等人指出："相比于Fant等人的1000Hz的公式，700Hz的公式能够在1000Hz以下更近似于Mel刻度，代价是超过1000Hz时误差更大。"^[13] 但是当频率超过7kHz时,700Hz的版本表现的更好。

这些公式的数据由Beranek于1949年基于Stevens 和 Volkman的曲线被制作成表格：^[14]

Beranek 等制表(1949),数据来源于Stevens 和 Volkman(1940)

Hz	20	160	394	670	1000	1420	1900	2450	3120	4000	5100	6600	9000	14000
mel	0	250	500	750	1000	1250	1500	1750	2000	2250	2500	2750	3000	3250

具有625Hz截断频率的公式由Lindsay和Norman于1977年在《Human information processing: An introduction to psychology》中提出，^[15] 但在该书1972年第一版中该公式没有出现：

${\displaystyle m=2410\log _{10}(1.6\times 10^{-3}f+1)}$

大多数的公式能够保证1000 mel对应1000Hz。截断频率(break frequency)，如700Hz、1000Hz或625Hz，是这些公式中唯一的自由参数。一些非MEL听觉频率尺度(auditory-frequency-scale)公式使用了相同的形式，但截断频率低得多，不一定能保障1000mel对应1000Hz，例如1990年Glasberg与Moore提出的ERB-rate刻度使用的是228.8Hz^[16] ，1990年Greenwood的“cochlear frequency–place map”则使用165.3Hz作为截断频率。^[17]

Umesh等人对其他形式的梅尔刻度进行了研究。根据从这些曲线上计算的数据，他们指出，传统的含有对数区域和线性区域的公式，以及其他形式的公式，都不符合Stevens和Volkman的曲线：^[18]

Umesh 等制表(1999),数据来源于Stevens 和 Volkman(1940)

Hz	40	161	200	404	693	867	1000	2022	3000	3393	4109	5526	6500	7743	12000
mel	43	257	300	514	771	928	1000	1542	2000	2142	2314	2600	2771	2914	3228