梅滕斯猜想

梅滕斯猜想是数论中的一个猜想，是有关数论中梅滕斯函数上下界的猜想，由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想，不过已被安德鲁·奥德里兹科（英语：Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（英语：Herman te Riele）于1985年证否。

图示为梅滕斯函数的前10000项与默滕斯猜想中的界限${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$。梅滕斯在计算梅滕斯函数的前一万个值之后，猜想${\displaystyle M(n)}$的绝对值恒小于${\displaystyle {\sqrt {n}}}$，此猜想被安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）于1985年证否

定义

数论中，有梅滕斯函数

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

其中，${\displaystyle \mu (k)}$表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指，对所有${\displaystyle n>1}$，有

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}.\,}$

猜想的证否

汤姆斯·斯蒂尔吉斯在1885年声称已证明比梅滕斯猜想要弱的结果，也就是${\displaystyle m(n)\equiv M(n)/{\sqrt {n}}}$有界，但其结果没有发表^[1]（若用${\displaystyle m(n)}$的方式表示，梅滕斯猜想是指${\displaystyle -1<m(n)<1}$）

安德鲁·奥德里兹科（英语：Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（英语：Herman te Riele）在1985年证否了梅滕斯猜想，用的是LLL格缩减算法（英语：Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm）^[2][3]：

${\displaystyle \liminf ~m(n)<-1.009\quad }$ and ${\displaystyle \quad \limsup ~m(n)>1.06~}$

之后也证实了第一个反例小于 ${\displaystyle ~e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}~}$^[4]，大于10^16[5]，后来的上限已降到${\displaystyle ~e^{1.59\times 10^{40}}~}$^[6]或近似${\displaystyle ~10^{6.91\times 10^{39}}~,}$，但还没找到确切的反例数值。