椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程（英语：Elliptic partial differential equation）是一类二阶线性偏微分方程，形式为：

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0\,}$

并满足

${\displaystyle B^{2}-AC<0.\ }$

其中A, B, C, D, E, F, and G是x和y的函数，${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$, ${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$，${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$的定义也类似

其名称是源自椭圆形的方程式。

最简单的椭圆型偏微分方程是拉普拉斯方程，${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$，以及泊松方程，${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$。其他所有的双变数椭圆型偏微分方程都是这两种方式的扩展，而且一定可以透过变数变换^[1][2]，转换为以下的标准形。

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

参见

• 椭圆算子
• 抛物型偏微分方程
• 双曲型偏微分方程
• 二阶偏微分方程