杨对称化子

杨对称化子（英语：Young symmetrizer），是表示论中的一种工具，用于构造对称群${\displaystyle {S}_{n}}$的不可约表示。

定义

• ${\displaystyle {S}_{n}}$是 n次对称群
• ${\displaystyle \mathbb {C} {S}_{n}}$是${\displaystyle {S}_{n}}$的群环
• ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdot \cdot \cdot ,\lambda _{k})}$表示一个杨图
  • 其中${\displaystyle \lambda _{1}+\cdot \cdot \cdot +\lambda _{k}=n}$是n的整数分拆。
• ${\displaystyle P=\{g\in {S}_{n}|}$杨表中任一行所构成的集合都在 ${\displaystyle g}$ 下不变${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle Q=\{g\in {S}_{n}|}$杨表中任一列所构成的集合都在 ${\displaystyle g}$ 下不变${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle a_{\lambda }=\sum _{g\in P}e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}}$
• ${\displaystyle b_{\lambda }=\sum _{g\in Q}\operatorname {sgn}(g)e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}}$

其中 ${\displaystyle e_{g}}$ 是对应于 ${\displaystyle g}$ 的单位向量， ${\displaystyle \operatorname {sgn}(g)}$ 是 ${\displaystyle g}$ 的置换符号。于是乘积

• ${\displaystyle c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }\in \mathbb {C} {S}_{n}}$

就称为杨对称化子(Young symmetrizer)。

参考书目

• William Fulton / Joe Harris (1991): "Representation Theory", ISBN 0-387-97495-4 , pp.46,45