极值长度

数学上，共形和拟共形映射的理论中，一个曲线族${\displaystyle \Gamma }$的极值长度是${\displaystyle \Gamma }$的一个共形不变量。确切来说，设 ${\displaystyle D}$是复平面中的开集，${\displaystyle \Gamma }$是${\displaystyle D}$中的路径族，${\displaystyle f:D\to D'}$是一个共形映射。那么${\displaystyle \Gamma }$的极值长度等于 ${\displaystyle \Gamma }$在${\displaystyle f}$下的像的极值长度。因此极值长度是研究共形映射的有用工具。

极值长度的定义

设${\displaystyle D}$是复平面中的开集。设${\displaystyle \Gamma }$是在${\displaystyle D}$中的可求长曲线族。${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$是博雷尔可测函数。对任意可求长曲线${\displaystyle \gamma }$，设

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}$

表示${\displaystyle \gamma }$的${\displaystyle \rho }$长度，其中${\displaystyle |dz|}$表示欧氏线元。（可能有${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$。）又设

${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).}$

${\displaystyle \rho }$的面积定义为

${\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}$

而${\displaystyle \Gamma }$的极值长度定义为

${\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}$

其中最小上界是取自所有满足${\displaystyle 0<A(\rho )<\infty }$的博雷尔可测函数${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$。若${\displaystyle \Gamma }$包含了不可求长曲线，将${\displaystyle \Gamma }$中可求长曲线的子集记为 ${\displaystyle \Gamma _{0}}$，则 ${\displaystyle EL(\Gamma )}$定义为${\displaystyle EL(\Gamma _{0})}$。

${\displaystyle \Gamma }$的模是${\displaystyle 1/EL(\Gamma )}$。

${\displaystyle {\overline {D}}}$中的两个集合在${\displaystyle D}$中的极值距离，是在${\displaystyle D}$中两个端点分别在这两个集合的曲线族的极值长度。

参考

• Ahlfors, Lars V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co., 1973, MR 0357743