概率流

在量子力学里，概率流，又称为概率通量，是描述概率密度流动的物理量。假若将概率密度想像为非均匀流体，那么，概率流就是这流体的流率（概率密度乘以速度）。

定义

在量子力学里，从概率守恒可以得到“概率连续性方程”。设定一个量子系统的波函数为 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ 。定义概率流 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 为

${\displaystyle \mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )}$ ；

其中，${\displaystyle \hbar }$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$ 是质量，${\displaystyle \Psi ^{*}}$ 是 ${\displaystyle \Psi }$ 是共轭复数，${\displaystyle {\mbox{Im}}()}$ 是取括弧内项目的虚部。

连续方程与概率保守定律

概率流满足量子力学的连续方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ ；

其中，${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$ 是概率密度。

应用高斯公式，等价地以积分方程表示，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0}$ ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是任意三维区域，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的边界曲面。

这就是量子力学概率守恒定律的方程。

方程 (1) 左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内的概率。第二个曲面积分是概率流出 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量。总之，方程 (1) 表明，粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内的概率对于时间的微分，加上概率流出三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量，两者的总和等于零。

连续方程导引

测量粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内的概率 ${\displaystyle P}$ 是

${\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$ 。

概率对于时间的导数是

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ ；(2)

假设 ${\displaystyle \Psi }$ 的含时薛定谔方程为

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }$ ；

其中，${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ 是位势。

将含时薛定谔方程代入方程 (2) ，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

应用一则矢量恒等式，可以得到

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}$ 。

这方程右手边第一个项目与第三个项目互相抵销，将抵销后的方程代入，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

将概率密度方程与概率流定义式代入，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

这相等式对于任意三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 都成立，所以，被积项目在任何位置都必须等于零：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ 。

范例

平面波

设定一个粒子的波函数 ${\displaystyle \Psi }$ 为三维空间的平面波，

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=Ae^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{i\omega t}}$ ；

其中，${\displaystyle A}$ 是振幅常数，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是波数，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是位置，${\displaystyle \omega }$ 是角频率，${\displaystyle t}$ 是时间。

${\displaystyle \Psi }$ 的概率流是

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}}$ 。

这只是振幅的平方乘以粒子的速度 ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}}$ 。

请注意，虽然这平面波是定态，在每一个的地点，${\displaystyle {\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0}$ ，但是概率流仍旧不等于 ${\displaystyle 0}$ 。因此可以推论，虽然概率密度不显性地跟时间有关，粒子仍可能移动于空间中。

盒中粒子

一维盒子位势，即一个无限深方形阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。

思考一维盒中粒子问题，能级为 ${\displaystyle E_{n}}$ 的本征波函数 ${\displaystyle \Psi _{n}}$ 是

${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\qquad 0\leq x\leq L}$ ；

其中，${\displaystyle L}$ 是一维盒子的宽度，两扇盒壁的位置分别在 ${\displaystyle x=0}$ 与 ${\displaystyle x=L}$ 。

由于 ${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$ ，其概率流为

${\displaystyle J_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$ 。

参阅

• 阶梯位势
• 透射系数