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次方数

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次方數
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次方数,也称为累乘数幂次数(英语:Perfect power),是指一正整数n可以表示为另一正整数的平方立方或更高次方。n为次方数的条件是存在正整数m > 0及k > 1使得mk = n,此时n可以称为完全k次方数,若k = 2或k = 3,n可以称为平方数立方数。由于针对任意正整数k,1k = 1均成立,0k = 0也成立,因此有时也将0, 1视为次方数。

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古氏积木说明4, 8, 9是次方数

次方数的列表和倒数和

次方数数列可以用将mk代换不同的整数值而得,以下是头几个次方数(允许重复数字)(OEIS数列A072103):

次方数倒数的和(其中可以有重复的次方数,像34和92都是81)为1:

可以用下式证明:

没有重复的的次方数如下:

(有时会有0和1)4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (OEIS数列A001597

没有重复的次方数,倒数和为[1]

其中μ(k)是默比乌斯函数,and ζ(k)是黎曼ζ函数

莱昂哈德·欧拉所述,克里斯蒂安·哥德巴赫曾在信上证明(而信没有留下),若p是0,1以外的次方数,且不考虑重复次方数,1/p − 1的和为1:

有时会称为哥德巴赫-欧拉定理英语Goldbach–Euler theorem

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=次方数之间的间距

2002年时,罗马尼亚数学家Preda Mihăilescu英语Preda Mihăilescu证明了唯一一组连续的次方数是23 = 8和32 = 9,证明了卡塔兰猜想

Pillai猜想指出针对任意正整数k,只有有限对次方数的间距会是k,此问题目前还未解决[2]

参考资料

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