欧拉方程 (刚体运动)

此条目介绍的是刚体力学。关于其它意义的欧拉方程，请见“欧拉方程”。

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述${\displaystyle \mathbf {L} }$的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

这些方程是:

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N} }$

其中${\displaystyle \mathbf {L} }$是角动量在体坐标系中的表达，${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }}$是物体角动量相对于体坐标系的变化， ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$是在体坐标系中的角速度，而${\displaystyle \mathbf {N} }$是外力矩。

证明

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} =\left(I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}\right)+\mathbf {(} \omega )\times I\mathbf {\omega } =I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}+{\frac {dI}{dt}}\mathbf {\omega } ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N} }$

分量形式

采用主轴坐标，I对角化，则${\displaystyle \mathbf {L} }$分量形式为${\displaystyle I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _{3}\mathbf {e} _{3}}$。从而，欧拉方程变为如下分量形式

${\displaystyle {\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}\\\end{matrix}}}$

应用

方程左边为0时，还是有非平凡解：无力矩进动。

该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合，${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }}$不再连接到物体本身。${\displaystyle \mathbf {\omega } }$是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。但是，所选的轴必须还是主轴，因为它是对角化的必要条件。这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用，因为有些主轴的选取是自由的。

参阅

• Poinsot构造
• 欧拉运动定律