欧几里得-欧拉定理

数学上，欧几里得-欧拉定理（英语：Euclid–Euler theorem）是一条联系偶完全数与梅森质数的定理。这定理指出每个偶完全数都可以写成${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$，其中${\displaystyle 2^{p}-1}$是质数。形如${\displaystyle 2^{p}-1}$的质数称为梅森质数，因此其中的${\displaystyle p}$必须是质数。

定理叙述

一个偶数是完全数（即等于它的所有真因数的和），当且仅当它有形式${\displaystyle 2^{p-1}M_{p}}$，其中${\displaystyle M_{p}}$是梅森质数，即形为${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ 的质数。^[1]

历史

欧几里得证明当${\displaystyle 2^{p}-1}$是质数时，${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$是完全数（Prop. IX.36）。这是他的《几何原本》中数论的最后一条结果。^[2]

过了超过一千年后，约在公元1000年，海什木猜想所有偶完全数都有形式${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$，但他未能证明。^[3]

直至18世纪，数学家欧拉始证明所有偶完全数都有形式${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$。^[1][4]因此确定偶完全数和梅森质数之间存在一一对应：每个偶完全数给出一个梅森质数，反之亦然。

证明

欧拉的证明简短^[1]，用到因数总和函数${\displaystyle \sigma }$是积性函数的性质：对任何两个互质正整数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，都有${\displaystyle \sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)}$。要使这个公式成立，一个数的因数总和须包括该数本身，不只是真因数。一个数是完全数，当且仅当该数的因数总和是该数的两倍。

定理中一个方向（欧几里得所证明的）较为容易：如果${\displaystyle 2^{p}-1}$是质数，那么

${\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))}$

${\displaystyle =\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)}$

${\displaystyle =(2^{p}-1)2^{p}}$

${\displaystyle =2(2^{p-1}(2^{p}-1))}$

至于另一个方向，设有偶完全数2^kx，其中x是奇数。它是完全数，故此

2^{k + 1}x = σ(2^kx) = (2^{k + 1} − 1)σ(x).

上式右边的奇因数2^{k + 1} − 1 至少等于3，且必定整除或等于左边唯一的奇因数x，因此y = x/(2^{k + 1} − 1) 是x的真因数。将上式两边除以公因数2^{k + 1} − 1，并考虑x已知有因数x和y，得出

2^{k + 1}y = σ(x) = x + y + 其他各因数 = 2^{k + 1}y + 其他各因数.

要使等式成立，必需无其他因数，因此y必定等于1，x必定是形为2^{k + 1} − 1的质数。定理得证。