在平面几何中,欧拉线,或称尤拉线(图中的红线)是指过三角形的垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和九点圆圆心(红点)的一条直线。莱昂哈德·欧拉,也称尤拉,证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意内心一般不在欧拉线上,除了等腰三角形外。 欧拉线 证明 如图 H , G , O {\displaystyle H,G,O} 分别是 △ A B C {\displaystyle {\triangle }ABC} 的垂心,重心,外心。 设 D {\displaystyle D} 为直线 B O {\displaystyle BO} 和 △ A B C {\displaystyle {\triangle }ABC} 外接圆的交点,并连结 A H , A D , C D , C H {\displaystyle AH,AD,CD,CH} 。 (1) ∵ B D {\displaystyle {\because \quad }BD} 是直径, ∴ C D ⊥ B C {\displaystyle {\therefore \quad }CD{\perp }BC} 且 A D ⊥ A B {\displaystyle AD{\perp }AB} 。 又 H {\displaystyle H} 是垂心, ∴ A H ⊥ B C {\displaystyle {\therefore \quad }AH{\perp }BC} 且 C H ⊥ A B {\displaystyle CH{\perp }AB} 。 ∴ C D / / A H {\displaystyle {\therefore \quad }CD//AH} , A D / / C H {\displaystyle AD//CH} 。 A D C H {\displaystyle ADCH} 为平行四边形。 -> A H = D C {\displaystyle AH=DC} 又 O , M {\displaystyle O,\;M} 分别是 B D , C B {\displaystyle BD,\;CB} 的中点, ∴ D C = 2 O M {\displaystyle {\therefore \quad }DC=2OM} , A H = 2 O M {\displaystyle AH=2OM} (2) 作 B C {\displaystyle BC} 边上的中线 A M , {\displaystyle AM,} 连结 O M , O H {\displaystyle OM,\;OH} 设 O H {\displaystyle OH} 交 A M {\displaystyle AM} 于点 G ′ {\displaystyle G'} ∵ O M ⊥ B C , △ A H G ′ ∼ △ M O G ′ , A H = D C = 2 O M {\displaystyle {\because \quad }OM{\perp }BC,\;{\triangle }AHG'{\sim \triangle }MOG',\;AH=DC=2OM} , ∴ A G ′ = 2 G ′ M {\displaystyle {\therefore \quad }AG'=2G'M} , ∴ G ′ {\displaystyle {\therefore \quad }G'} 即 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 的重心 G {\displaystyle G} ∴ △ A B C {\displaystyle \therefore \quad \triangle ABC} 的垂心 H , {\displaystyle H,} 重心 G , {\displaystyle G,} 外心 O {\displaystyle O} 三点共线 , {\displaystyle ,} 直线 H G O {\displaystyle HGO} 即欧拉线 Remove ads推论 九点圆的圆心也在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点 如图,H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三边中点I i,三高的垂足Hi,和顶点到垂心的三条线段的中点J i 令HΩ和J1I1的交点为K,∵BΩ=CΩ,BI1=CI1,∴ΩI1⊥BC,又∵AH1⊥BC,∴ΩI1∥AH1。 ∵∠GΩI1=∠AHG,∠GAH=∠GI1Ω,∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1,∴AH=2ΩI1,即ΩI1=J1H。 ∵ΩI1∥AH1, J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。 同理J2K=KI2, J3K=KI3。 可知K为九点圆圆心。 ∵点K在HΩ上,HK = KΩ ∴九点圆圆心在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点。 参考资料 数学题解辞典·平面几何. 上海辞书出版社. 外部链接 Altitudes and the Euler Line (页面存档备份,存于互联网档案馆) Euler Line and 9-Point Circle (页面存档备份,存于互联网档案馆) Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads