正合函子

在范畴论中，正合函子（或译作恰当函子）是保存有限极限的函子。在阿贝尔范畴中，这就相当于保存正合序列的函子。

阿贝尔范畴间的正合函子

设 ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'}$ 为阿贝尔范畴，${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}$ 为加法函子。若对每个正合序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow X_{i}\longrightarrow X_{i-1}\longrightarrow \cdots }$

取 ${\displaystyle F}$ 后得到的序列

${\displaystyle \cdots \longrightarrow F(X_{i})\longrightarrow F(X_{i-1})\longrightarrow \cdots }$

仍为正合序列，则称 ${\displaystyle F}$ 为正合函子。

由于正合序列总能拆解为短正合序列，在定义中仅须考虑短正合序列即可。

此外，若对每个短正合序列 ${\displaystyle 0\to X'\to X\to X''\to 0}$，其像截去尾端零对象后 ${\displaystyle 0\to F(X')\to F(X)\to F(X'')}$ 为正合序列，则称 ${\displaystyle F}$ 是左正合函子；类似地，若 ${\displaystyle F(X')\to F(X)\to F(X'')\to 0}$ 为正合序列，则称 ${\displaystyle F}$ 是右正合函子。正合性等价于左正合性＋右正合性。

一般范畴中的正合函子

考虑一个函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}'}$。

• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$里存在任意的有限射影极限，且${\displaystyle F}$与有限射影极限交换（即：${\displaystyle F(\varprojlim _{i}X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}\varprojlim _{i}F(X_{i})}$），则称${\displaystyle F}$为左正合。
• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$里存在任意的有限归纳极限，且${\displaystyle F}$与有限归纳极限交换（即：${\displaystyle \varinjlim _{i}F(X_{i}){\stackrel {\sim }{\to }}F(\varinjlim _{i}X_{i})}$），则称${\displaystyle F}$为右正合。
• 若上述条件同时被满足，则称${\displaystyle F}$为正合。

在阿贝尔范畴中，由于任意有限射影（或归纳）极限可以由核（或上核）与有限积（或上积）生成，此时的定义遂回归到正合序列的定义。

例子

• 根据极限的泛性质，${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)}$函子无论对哪个变数都是左正合的，这是左正合函子的基本例子。
• 设${\displaystyle (F,G)}$是一对伴随函子。若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$存在任意有限归纳极限，则${\displaystyle F}$右正合；若存在任意有限射影极限，${\displaystyle G}$左正合。此法可建立许多函子的正合性。
• 设 ${\displaystyle X}$ 为拓扑空间，阿贝尔群数学范畴上的整体截面函子 ${\displaystyle X\mapsto F(X)}$ 是左正合函子。
• 设 ${\displaystyle R}$ 为环，${\displaystyle T}$ 为右 ${\displaystyle R}$-模，则左 ${\displaystyle R}$-模范畴上的张量积函子 ${\displaystyle T\otimes _{R}-}$ 是右正合函子。
• 设 ${\displaystyle {\mathcal {A}},\;{\mathcal {B}}}$ 为两个阿贝尔范畴，考虑函子范畴 ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}}$，固定一对象 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$，对 ${\displaystyle A}$ 的“求值”是正合函子。

文献

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490