四角台塔柱

在几何学中，四角台塔柱是指以四边形作为底的台塔柱，其结构可以视为四角台塔与八角柱的组合。四角台塔柱虽然称为“四角”，但其底面只有在台塔侧为四边形，另一侧的底面为八边形。若四角台塔柱在台塔侧的底面为正方形，则此种台塔柱允许所有面皆为正多边形。这种四角台塔柱是约翰逊多面体，其最早在1966年由诺曼·约翰逊命名、给予描述并将之编号为J₁₉^[1]。

四角台塔柱

类别	约翰逊多面体 J18 - J19 - J20
对偶多面体	四角半偏方面体柱锥
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	escu
性质
面	18
边	36
顶点	20
欧拉特征数	F=18, E=36, V=20 （χ=2）
组成与布局
面的种类	4个三角形 13个正方形 1个八边形
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	8个(42.8) 4+8个(3.43)
对称性
对称群	C4v
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	C4v群
特性
凸多面体
图像
四角半偏方面体柱锥 （对偶多面体） （展开图）

性质

四角台塔柱由18个面、36条边和20个顶点组成。在其18个面中，有4个面是三角形、13个面是四边形以及1个八边形面。在其13个四边形面中，其中1个四边形面是底面、4个四边形面是台塔侧的侧面、8个四边形面是柱体侧的侧面。^[2]

正四角台塔柱

正四角台塔柱一般指所有面都是正多边形的台塔柱。这种台塔柱是92种约翰逊多面体中的其中一个。这92种约翰逊多面体最早在1966年由诺曼·约翰逊命名并给予描述，并给予正四角台塔柱编号J₁₉^[1]。

构造

四角台塔柱可透过将一个正八角柱和一个八边形底面与八角柱底面全等的正四角台塔（J₄）以底面对底面的方式接合而成^[3]。正四角台塔覆盖了八角柱的八边形的面，因此形成的多面体由4个正三角形、13个正方形和一个正八边形组成。^[4]其亦可以将小斜方截半立方体截去一个正四角台塔而得到，即套用了欠变换的小斜方截半立方体，因此正四角台塔又称为小斜方截半立方体欠侧台塔（diminished small rhombicuboctahedron）^[5]，亦可以视为是小斜方截半立方体经过“边刻面”（edge-faceting）的结果。^[5]

• 
  小斜方截半立方体
• 
  缺少一个正四角台塔的小斜方截半立方体

性质

正四角台塔柱由1个正八边形（底面）和4个三角形组成与${\displaystyle {{{4}\times {3}}+{1}}=13}$个正方形（${\displaystyle {{4}\times {2}}=8}$个作柱体侧面、4个作台塔侧面、1个台塔底面），共有36条边和20个顶点。在这20个顶点中有8个顶点是3个面（2个正方形和1个八边形）的公共顶点以及${\displaystyle {{8}+{4}}=12}$个顶点是1个三角形和3个正方形的公共顶点。^[6]正四角台塔柱具有四折锥体对称性。（C_4v）^[6]

体积与表面积

边长为a的正四角台塔柱，其体积${\displaystyle V}$及表面积${\displaystyle A}$为：^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(15+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 19.561a^{2},\\V&=\left(3+{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\approx 6.771a^{3}.\end{aligned}}}$

相关多面体

四角台塔柱是台塔柱的一种。^[5]其他台塔柱有：

台塔柱

3	4	5	6	7
三角台塔柱	四角台塔柱	五角台塔柱	六角台塔柱	七角台塔柱

参见

• 约翰逊多面体
• 正四角台塔
• 小斜方截半立方体