武卡谢维奇逻辑

在数学中，武卡谢维奇逻辑（Łukasiewicz logic）是非经典、多值逻辑。它最初由扬·武卡谢维奇定义为叫做“三价逻辑”的三值逻辑^[1]；它后来被推广为 n 值(对于所有有限 n)和无限多值变体，命题和一阶都有^[2]。它属于t-规范模糊逻辑^[3] 和亚结构逻辑^[4]类。

实数值语义

无穷多值武卡谢维奇逻辑是实数值逻辑，其中来自命题演算的句子被指派上在 0 到 1 之间的任意精度的真值。求值有如下递归定义:

• ${\displaystyle w(\theta \rightarrow \phi )=F_{\rightarrow }(\theta ,\phi )}$
• ${\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(\theta )}$
• ${\displaystyle w(\theta \wedge \phi )=F_{\wedge }(\theta ,\phi )}$
• ${\displaystyle w(\theta \vee \phi )=F_{\vee }(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle F_{\wedge }}$, ${\displaystyle F_{\vee }}$, ${\displaystyle F_{\neg }}$ 和 ${\displaystyle F_{\rightarrow }}$ 的值明确给出自:

• ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=Max\{0,x+y-1\}}$
• ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=Min\{1,x+y\}}$
• ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• ${\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=Min\{1,1-x+y\}}$

求值的性质

在这个定义下，求值满足如下条件:

${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 满足

• ${\displaystyle F_{\wedge }(0,0)=F_{\wedge }(0,1)=F_{\wedge }(1,0)=0}$ 和 ${\displaystyle F_{\wedge }(1,1)=1}$。
• ${\displaystyle F_{\vee }(0,0)=0}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }(0,1)=F_{\vee }(1,0)=F_{\vee }(1,1)=1}$。

• ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 是连续性的。
• ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 在每个构成上是严格递增的。
• ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 在如下意义上是结合性的: ${\displaystyle F(a,F(b,c))=F(F(a,b),c)}$ 对于每个 ${\displaystyle F\in \{F_{\wedge },F_{\vee }\}}$。

所以 ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 都是连续t-规范的。

• ${\displaystyle F_{\neg }(0)=1}$ 和 ${\displaystyle F_{\neg }(1)=0}$。
• ${\displaystyle F_{\neg }}$ 是连续的。