归一条件

在量子力学里，表达粒子的量子态的波函数必须满足归一条件（归一化，或规范化，英语：be normalized），也就是说，在空间内，找到粒子的概率必须等于 ${\displaystyle 1}$ 。这性质称为归一性。用数学公式表达，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\ dx=1}$ ;

其中，${\displaystyle x}$ 是粒子的位置，${\displaystyle \psi (x)}$ 是波函数。

归一化导引

一般而言，波函数 ${\displaystyle \psi }$ 是一个复函数。可是，${\displaystyle \psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}}$ 是一个实函数，大于或等于 ${\displaystyle 0}$ ，称为“概率密度函数”。所以，在区域 ${\displaystyle [x,\ x+\Delta x]}$ 内，找到粒子的概率 ${\displaystyle \Delta P}$ 是

${\displaystyle \Delta P=\mid \psi \mid ^{2}\Delta x}$ ；(1) 。

既然粒子存在于空间，概率是 ${\displaystyle 1}$ 。所以，积分于整个一维空间：

${\displaystyle P=\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi \mid ^{2}dx=1}$ 。(2)

假若，从解析薛定谔方程而得到的波函数 ${\displaystyle \psi }$ ，其概率 ${\displaystyle P}$ 是有限的，但不等于 ${\displaystyle 1}$ ，则可以将波函数 ${\displaystyle \psi }$ 乘以一个常数，使概率 ${\displaystyle P}$ 等于 ${\displaystyle 1}$ 。或者，假若波函数内，已经有一个任意常数，可以设定这任意常数的值，使概率 ${\displaystyle P}$ 等于 ${\displaystyle 1}$。

实例

在一维空间内，束缚于区域 ${\displaystyle [0,\ \ell ]}$ 内的一个粒子，其波函数是

${\displaystyle \psi (x,\ t)={\begin{cases}Ae^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&elsewhere\end{cases}}}$ ；

其中，${\displaystyle k}$ 是波数，${\displaystyle \omega }$ 是角频率，${\displaystyle A}$ 是任意常数。

计算能够使波函数归一化的常数值 ${\displaystyle A}$ 。将波函数代入：

${\displaystyle \mid \psi \mid ^{2}=A^{2}e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}=A^{2}}$ 。

积分于整个粒子存在的区域：

${\displaystyle \int _{0}^{\ell }A^{2}dx=1}$ 。

稍加运算，

${\displaystyle A^{2}\ell =1\qquad \Rightarrow \qquad A=\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)}$ 。

归一化的波函数是：

${\displaystyle \psi (x,t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)e^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&{\text{elsewhere}}\end{cases}}}$ 。

薛定谔方程的形式不变

薛定谔方程为

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$ ；

其中，${\displaystyle \hbar }$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle V(x)}$ 是位势，${\displaystyle E}$ 是能量。

将波函数 ${\displaystyle \psi }$ 归一化为 ${\displaystyle \psi \,'=A\psi }$ 。则薛定谔方程成为

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)}$

${\displaystyle \Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$ 。

薛定谔方程的形式不变。对于归一化，薛定谔方程是个不变式，因为薛定谔方程是个线性微分方程。

一个表达粒子量子态的波函数，必须满足粒子的薛定谔方程。既然 ${\displaystyle \psi }$ 和 ${\displaystyle \psi \,'}$ 都能够满足同样的薛定谔方程，它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数，则只能知道概率的相对大小；否则，使用归一化的波函数，可以知道绝对的概率。这对于量子问题的解析，会提供许多便利。

归一化恒定性

给予一个归一化的波函数．随着时间的变化，波函数也会改变．假若，随着时间改变的波函数不再满足归一条件，则势必要重新将波函数归一化．这样，归一常数 ${\displaystyle A}$ 变得含时间．很幸运地，满足薛定谔方程的波函数的归一性是恒定的．设定波函数 ${\displaystyle \psi (x,\ t)}$ 满足薛定谔方程与归一条件：

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$ ，

${\displaystyle P=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \ dx=1}$ ；

假若，归一性是恒定的，则概率 ${\displaystyle P}$ 不含时间。为了显示这一点，先计算 ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ ：

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t))\ dx}$ 。

展开被积函数

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )={\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi +\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$ 。

编排薛定谔方程，可以得到波函数 ${\displaystyle \psi }$ 对于时间的偏导数：

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi }$ 。

共轭波函数 ${\displaystyle \psi ^{*}}$ 对于时间的偏导数为

${\displaystyle {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}}$ 。

将 ${\displaystyle \psi }$ 与 ${\displaystyle \psi ^{*}}$ 代入被积函数

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi \right)\\&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\\\end{aligned}}}$。

代入 ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ 的方程:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right)\left[\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{\infty }-\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{-\infty }\right]}$ 。

可是，在 ${\displaystyle x=\pm \infty }$ ，${\displaystyle \psi }$ 与 ${\displaystyle \psi ^{*}}$ 都等于 0 ．所以，

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=0}$ 。

概率 ${\displaystyle P=1}$ 不含时间。波函数的归一化是恒定的。

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

参阅

• 正则变换
• 幺正性

外部链接

• Middlebury 大学讲义：归一化