永田环

在交换代数中，可以根据整闭包的有限性将整环分成数类。以下均假设 ${\displaystyle A}$ 为一整环。

• ${\displaystyle A}$ 被称作 N-1 环，当且仅当其在分式域 ${\displaystyle K}$ 中的整闭包是有限 ${\displaystyle A}$-模。
• ${\displaystyle A}$ 被称作 N-2 环（或日本环，以纪念日本学派在此领域之贡献），当且仅当对任何有限扩张 ${\displaystyle L/K}$， ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle L}$ 中的整闭包是有限 ${\displaystyle A}$-模。
• ${\displaystyle A}$ 被称作泛日本环，当且仅当 ${\displaystyle A}$ 上任何有限生成的整环都是日本环。
• 一个泛日本环 ${\displaystyle A}$ 被称作永田环（或拟几何环），当且仅当 ${\displaystyle A}$ 也是诺特环。

注：一个代数簇的局部环或其完备化称作几何环，但此概念并不流行。

凡拟优环皆为永田环，所以代数几何中处理的环几乎都是永田环。是诺特整环而非永田环的例子首先由秋月康夫于1935年给出。

文献

• Y. Akizuki, Einige Bemerkungenuber primare Integritatsbereiche mit Teilerkettensatz, Proc Phys-Math Soc. Japan 17 (1935) 327-366.
• V.I. Danilov, geometric ring, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
• A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publ. Math. IHES , 20, section 23 (1964)
• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 12.
• Nagata, Masayoshi Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, 由 R. E. Krieger Pub. Co 重印 (1975) ISBN 0882752286