沃尔斯滕霍尔姆定理

在数论上，沃尔斯滕霍尔姆定理说明，对于大于或等于5的质数，有

${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}$
${ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{3}}}$
$(p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right)\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$
$(p-1)!^{2}\left(1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+...+{1 \over (p-1)^{2}}\right)\equiv 0{\pmod {p}}$

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以上四个等式是等价的。

只有少数质数符合 ${2p-1 \choose p-1}\equiv 1\,{\bmod {\,}}p^{4}$ ，现时已知有两个这样的质数，16843 及 2124679 （OEIS:A088164）。这类质数称为沃尔斯滕霍尔姆素数，下一个这样的质数如果存在，它大于10⁹。

这定理是19世纪英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍尔姆提出的。值得一提的是沃尔斯滕霍尔姆是吴尔芙的父亲的朋友，也是吴尔芙小说《灯塔行》中奥古斯图斯·卡麦可的原形。