莫德尔猜想

莫德尔猜想（Mordell conjecture），又称法尔廷斯定理（Faltings's theorem），是一个由路易·莫德尔（英语：Louis Mordell）^[1]提出的算术几何猜想，这猜想认为，任何有理数域上亏格数大于一的曲线至多只有有限多个有理点。这猜想于1983年为格尔德·法尔廷斯所证明^[2]，并从此改名为法尔廷斯定理，而之后这猜想被推广至任何代数数域上。

法尔廷斯定理

格尔德·法尔廷斯
领域	算术几何
猜想提出者	路易·莫德尔（英语：Louis Mordell）
猜想提出年	1922
最初证明者	格尔德·法尔廷斯
最初证明年	1983
推广	邦别里－朗猜想（英语：Bombieri–Lang conjecture） 莫德尔－朗猜想（英语：Mordell–Lang conjecture）
可得结果	西葛尔的整数点定理（英语：Siegel's theorem on integral points）

背景

设C为一个非特异（英语：Singular point of an algebraic variety）的、位于有理数域上且亏格数为g的代数曲线，则C上的有理点可由下列关系决定：

• 当g = 0时，C要不没有有理点，要不有无限多的有理点，此情况下C可视为圆锥曲线。
• 当g = 1时，C没有有理点，或者为一个有理点构成有限生成阿贝尔群的椭圆曲线（此即莫德尔定理，之后被推广为莫德尔－韦伊定理（英语：Mordell–Weil theorem））；此外，马祖尔挠定理（英语：Mazur's torsion theorem）对相关的挠子群的结构做出限制。
• 当g > 1时，根据现在又称法尔廷斯定理的莫德尔猜想，C只有有限多的有理点。

证明

伊戈尔·沙法列维奇（英语：Igor Shafarevich）曾猜想说在一个固定的数域上有着固定的维度与极化度（polarization degree）、且在固定的位构成的有限集合之外有着良好简化（Good reduction）的交换簇（英语：Abelian variety）之上，只有有限个同构类，而这即是沙法列维奇的有限猜想。^[3]阿列克谢·帕辛（英语：Aleksei Parshin）使用现在称为帕辛技巧的方法，指出说沙法列维奇的有限猜想可推出莫德尔猜想。^[4]

格尔德·法尔廷斯利用了泰特猜想（英语：Tate conjecture）一个情况已知的简化，以及包括内伦模型（英语：Néron model）等源自代数几何的工具，证明了沙法列维奇的有限猜想。^[5]而这证明的主要想法，是利用西葛尔模簇（英语：Abelian variety）来比较高度函数（英语：Height function）中的法尔廷斯高度及古典高度。^[a]

后来的证明

• 保罗·波伊大（英语：Paul Vojta）给出一个基于丢番图逼近的证明；^[6]之后恩里科·邦别里找到了波伊大的证明中一个更加初等的版本。^[7]
• 布莱恩·劳伦斯（Brian Lawrence）及阿克沙伊·文卡泰什给出一个基于p进数霍奇定理（英语：P-adic Hodge theory）的证明，而这证明借凿了法尔廷斯原始证明中一些较简单的成分。^[8]

可得结果

法尔廷斯在1983年的论文可推出一系列先前受猜想的内容：

• 莫德尔猜想，也就是在代数数域上亏格数大于1的曲线只有有限多个有理点；
• 同类定理（Isogeny theorem），也就是带有同构泰特模（英语：Tate module）（也就是带有伽罗瓦作用的Q_ℓ－模）的交换簇（英语：Abelian variety）是同类（英语：Isogeny）的。

法尔廷斯定里的一个应用是费马最后定理的弱形式：对于任意大于等于4的固定整数n，aⁿ + bⁿ = cⁿ至多只有有限的原始整数解（也就是彼此互质的解），而这是因为对于这样的n而言，费马曲线 xⁿ + yⁿ = 1的亏格数大于1之故。

推广

由于莫德尔－韦伊定理（英语：Mordell–Weil theorem）之故，因此法尔廷斯定理可重述为一个关于带有交换簇A的有限生成子群Γ的曲线C的交点的叙述，因此可透过将其中交换簇A改成半交换簇（semiabelian variety）、将C改成A的任意子簇，以及将Γ改成A的任意有限秩子集的作法，将之推广为莫德尔－朗猜想（英语：Mordell–Lang conjecture），而这猜想由麦克·麦奎兰（英语：Michael McQuillan (mathematician)）^[9]在洛朗（Laurent）、雷诺、辛追（Hindry）、波伊大（英语：Paul Vojta）以及法尔廷斯等人成就的基础上，于1995年所证明。

法尔廷斯定理的另一个高维推广是邦别里－朗猜想（英语：Bombieri–Lang conjecture），也就是若X是一个在数域k上的伪典型簇（英语：pseudo-canonical variety）（也就是“一般类型”的代数簇），那么X(k)在扎里斯基拓扑的意义上并非稠密的。保罗·波伊大（英语：Paul Vojta）并提出了更加一般化的猜想。

函数域上的莫德尔猜想由尤里·马宁^[10]以及汉斯·格劳尔特（英语：Hans Grauert）^[11]所证明，在1990年，罗伯特·F·科尔曼找到并修补了马宁证明中的一个漏洞。^[12]

注解

1. “法尔廷斯借由西葛尔模空间的方法比较了高度的两种表记…这是证明的主要想法”（原文："Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space.... It is the main idea of the proof."）Bloch, Spencer. The Proof of the Mordell Conjecture. The Mathematical Intelligencer. 1984, 6 (2): 44. S2CID 306251. doi:10.1007/BF03024155.