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测地曲率

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测地曲率:设P是曲线(C)上一点,是(C)在P点的单位切向量,是主法向量,是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命

曲线(C)在P点的曲率向量上的投影(也就是在S上P点的切平面上的投影)

称为曲线(C)在P点的测地曲率。


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相关命题

  • 曲面S上的曲线(C),它在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C')的曲率。

式中,k为曲线在P点的曲率,为曲线在P点的法曲率

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二维曲面常用的测地曲率公式

今有一紧致定向的二维曲面S,其线元素可用曲面第一基本形式的系数表示为:,则其度量张量可表成下列关系式:

每当进行涉及到微分几何的实用演算时,都会用到其分量形式以利细部计算,因此有必要将前述向量形式定义的测地曲率以其分量形式来表征,以下将界定在二维曲面上局部范围,有关公式及其推导过程,可于列出的相关参考文献中找到。

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二维曲面测地曲率之Beltrami公式

为曲面S上的一正则曲线,在此曲线上以其弧长为参数,则曲线的参数方程式为,则它在P点的测地曲率可表为下列克氏符号(全称克里斯多福符号Christoffel symbols)相关的表示式[1] [2] [3]

上述用克式符号表示测地曲率的一般公式即是所谓的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)[4]。这里所用的克氏符号 Γk
ij
在有些书籍还会沿用旧式的 {k
ij
}
符号注记。由于克式符号属曲面的内蕴性质,而上述测地曲率一般公式只和克式符号曲面第一基本形式有关,因此,测地曲率必然是属曲面的内蕴几何[5]

今若曲线是沿着座标线的话,此时常数,使得以及,那么其测地曲率可算得为:

同理,假如曲线是沿着座标线的话,使得常数,因此以及,那么其测地曲率可化简为:

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二维曲面测地曲率之Liouville公式

为曲面S上的一正则曲线,在此曲线上以其弧长为参数,则曲线的参数方程式为,今其参数化是采正交座标系,换言之,第一基本形式的系数,又令曲线在P点与座标线的夹角为,则它在P点的测地曲率可表为下列与夹角相关的Liouville公式[6] [7] [8]


上述公式中的乃分属于两个座标线对应的测地曲率,至于它们的具体表征是什么,接下来将分别推导出其详细内容。首先,考量如若曲线是沿着座标线的话,此时常数,则有以及,那么该测地曲率可算得为:

同理,假如曲线是沿着座标线的话,此时常数,导致以及,那么此测地曲率可算得为:

以上测地曲率之Liouville公式就已列出有三种,若觉得怎么会有这么多样形式,其实还有其他变形,例如可参考网络上更加精简且优美的形式[9],这端赖解析问题时,需要配套什么形式的公式而定。



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参考文献

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