海涅-康托尔定理

海涅-康托尔定理，以爱德华·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧致度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数

f : M → N,

都是均匀连续的。

特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。

证明 1

假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0}$，使得对于所有M内的x和y，都有${\displaystyle d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }$

的否定是：

${\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0}$，使得${\displaystyle \forall \delta >0,\ \exists x,y\in M}$，使得${\displaystyle \ d(x,y)<\delta }$，且${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}}$。

其中d和${\displaystyle \rho }$分别是度量空间M和N上的距离函数。

选择两个序列x_n和y_n，使得：

${\displaystyle d(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}}$，且${\displaystyle \rho (f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}}$ (*)

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，序列x_n存在一个收敛的子序列${\displaystyle x_{n_{k}}}$，而${\displaystyle d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\to 0}$，故${\displaystyle x_{n_{k}}}$和${\displaystyle y_{n_{k}}}$收敛于相同的点。又因为f是连续的，所以${\displaystyle f(x_{n_{k}})}$和${\displaystyle f(y_{n_{k}})}$收敛于相同的点，与(*)式矛盾。

证明 2

^[1] 设 f 是从一个紧度量空间 (M,d_M) 到一个度量空间 (N,d_N) 的连续函数，欲证明 f 是一致连续的。

设给定了 ${\displaystyle \varepsilon >0}$, 于是对 ${\displaystyle M}$ 中的每一个点 ${\displaystyle a}$ 都存在一个与 ${\displaystyle a}$ 有关的 ${\displaystyle \delta }$, 使得

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(a))<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}(a;\delta ){\text{. }}}$

考虑由半径为 ${\displaystyle \delta /2}$ 的球 ${\displaystyle B_{M}(a;\delta /2)}$ 构成的集族, 这族球覆盖 ${\displaystyle M}$, 而且因为 ${\displaystyle M}$ 是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 ${\displaystyle M}$, 比方说

${\displaystyle M=\bigcup _{k=1}^{m}B_{M}\left(a_{k};{\frac {r_{k}}{2}}\right)\qquad {\text{(*)}}}$

在任何一个两倍半径的球 ${\displaystyle B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)}$ 中, 我们有

${\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right){\text{. }}}$

设 ${\displaystyle \delta =\min(r_{1}/2,\cdots ,r_{m}/2)}$, 欲证明这个 ${\displaystyle \delta }$ 满足一致连续性定义中的要求.

对 ${\displaystyle M}$ 中的两个点 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 满足条件 ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$, 由 ${\displaystyle {\text{(*)}}}$, 有某个球 ${\displaystyle B_{M}\left(a_{k};r_{k}/2\right)}$ 包含 ${\displaystyle x}$, 所以

${\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$

由三角不等式可得

${\displaystyle d_{M}\left(y,a_{k}\right)\leqslant d_{M}(y,x)+d_{M}\left(x,a_{k}\right)<\delta +{\frac {r_{k}}{2}}\leqslant {\frac {r_{k}}{2}}+{\frac {r_{k}}{2}}=r_{k}.}$

因而, ${\displaystyle y\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)}$, 所以也有 ${\displaystyle d_{N}\left(f(y),f\left(a_{k}\right)\right)<\varepsilon /2}$. 再次使用三角不等式就可以发现

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leqslant d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)+d_{N}\left(f\left(a_{k}\right),f(y)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon {\text{.}}}$