渐进稳定

如果微分方程的解既是稳定的又是吸引的，则称该解是渐近稳定的。

稳定和吸引

设微分方程${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(t,x),x(t_{0})=x^{0}}$

满足解的存在唯一性定理的条件，其解${\displaystyle x(t)=x(t,t_{0},x^{0})}$的存在区间是${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$。

${\displaystyle f(t,x)}$还满足${\displaystyle f(t,0)=0}$,保证${\displaystyle x(t)=0}$是方程的解。

若${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon ,t_{0}),\forall \lVert x^{0}\rVert <\delta ,\lVert x(t,t_{0},x^{0})\rVert <\epsilon }$则称零解是稳定的。

若${\displaystyle \exists \delta ,\forall x^{0}\in S(0,\delta )}$和${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists T=T(\epsilon ,t_{0},x^{0})}$并且当${\displaystyle t>t_{0}+T}$时，${\displaystyle \lVert x(t,t_{0},x^{0})\rVert <\epsilon }$则称零解是吸引的。

另见

• 李雅普诺夫稳定性