渗流理论

渗流理论（英语：Percolation theory）是数学和统计物理领域中研究随机图上簇的性质的一套理论。举例来说，假设有一多孔材料，求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题：建立一有n × n × n个顶点的三维网格模型，相邻顶点的边有p的概率是连接的，或者说有(1-p)的概率是不连接的，每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是，当n很大以至于体系可以近似为无限网格时，求问至少存在一条贯穿整个网格的路径（称为渗流）对应的p的范围。这一p的下界，p_c，称为渗流阈值（英语：Percolation_threshold）。该问题由布罗德本特和汉默斯利于1957年提出，^[1]其后相关问题被广泛研究。

上述问题称为边渗流或键渗流（英语：Bond percolation），是渗流理论两种主要的渗流形式之一。另外一种是点渗流（英语：Site percolation），与边渗流不同的是，每个顶点有p的概率是“占有”的；相应有(1-p)的概率是“空缺”的，如果相邻两个顶点皆属于占有则它们之间是连接的。而问题相同：求给定p值时，整个图是否渗流。

渗流阈值

主条目：渗流阈值（英语：Percolation_threshold）

根据零一律，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作p_c。少数简单模型的渗流阈值有精确的解析解。例如，一维点阵的边渗流和点渗流阈值均为p_c=1，这个解是平凡的；^[2]二维方格的渗流阈值曾困扰物理学界20年，直到1980年代由哈里·凯斯滕（英语：Harry_Kesten）给出完整证明，其边渗流阈值是1/2（参见Kesten (1982) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFKesten1982 (帮助)）。^[3]另一种已知精确解的特殊情况是贝特晶格（英语：Bethe_lattice）（该模型的每一个顶点有z个近邻顶点，如此延伸，没有回路），${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{z-1}}}$。

以下给出d维简单立方模型的渗流阈值数据：

d	配位数z	点渗流	边渗流
2	4	0.59274601(2)[4]	1/2
3	6	0.3116077(4)[5]	0.2488126(5)[6]
4	8	0.1968861(14),[7]0.19688561(3)[8]	0.1601314(13),[7] 0.16013122(6)[8]
5	10	0.1407966(15),[7] 0.14079633(4)[8]	0.118172(1),[7] 0.11817145(3)[8]
6	12	0.109017(2),[7] 0.109016661(8)[8]	0.0942019(6),[7] 0.09420165(2)[8]
7	14	0.0889511(9), [7] 0.088951121(1),[8]	0.0786752(3),[7] 0.078675230(2)[8]
8	16	0.0752101(5),[7] 0.075210128(1)[8]	0.06770839(7),[7] 0.0677084181(3)[8]
9	18	0.0652095(3),[7] 0.0652095348(6)[8]	0.05949601(5),[7] 0.0594960034(1)[8]
10	20	0.0575930(1),[7] 0.0575929488(4)[8]	0.05309258(4),[7] 0.0530925842(2)[8]
11	22	0.05158971(8),[7] 0.0515896843(2)[8]	0.04794969(1),[7] 0.04794968373(8)[8]
12	24	0.04673099(6),[7] 0.0467309755(1)[8]	0.04372386(1),[7] 0.04372385825(10)[8]
13	26	0.04271508(8),[7] 0.04271507960(10)[8]	0.04018762(1),[7] 0.04018761703(6)[8]

实际计算中，当网格边长n较大时，比如n=100，一个体系是否渗流的概率在p_c附近的变化已经非常尖锐。

渗流临界指数

主条目：渗流临界指数（英语：Percolation_critical_exponents）

模型在渗流阈值附近的行为可视作一种相变，因为有些表征性质的物理量是发散的，比如簇的期望大小。标度理论认为模型在渗流阈值的性质可以用一系列临界指数描述。例如，相互连接的点（点渗流）或边（边渗流）构成一个簇。当${\displaystyle p=p_{c}}$时，簇大小的分布趋于${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau },(s\rightarrow \infty )}$，其中${\displaystyle s}$为簇的大小，${\displaystyle n_{s}}$为该大小的簇出现的概率，${\displaystyle \tau }$为费舍尔指数（Fischer exponent）。

又如，两个距离为${\displaystyle {\vec {r}}\,\!}$的点属于同一个簇的概率呈${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2+\eta )}\,\!}$指数衰减，其中${\displaystyle \eta }$为反常维度（Anomalous dimension）。

在渗流阈值时，无限的簇可视作一分形。以该无限的簇上的一点为中心，长度为${\displaystyle L}$半径范围内属于该簇点的个数（簇的质量）满足${\displaystyle M(L)=L^{d_{\mathrm {f} }}}$，${\displaystyle d_{\mathrm {f} }}$称为分形维度（Fractal dimension）。以上三个指数满足

${\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}$

${\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}$

渗流临界指数及关系也是渗流理论研究的重要内容。

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