测量员公式

测量员公式（英语：Surveyor's formula），又称为鞋带公式（英语：Shoelace formula）、测量师公式^[1]、高斯面积公式（英语：Gauss's area formula^[2][3]），是用来计算笛卡儿平面上的任意多边形面积的一个公式。内容如下：给定座标平面上${\displaystyle n}$个点的座标（依逆时针顺序）${\displaystyle A_{1}(x_{1},y_{1}),A_{2}(x_{2},y_{2}),A_{3}(x_{3},y_{3}),\dots ,A_{n}(x_{n},y_{n})}$，此${\displaystyle n}$个点所围成的${\displaystyle n}$边形之面积${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&{...}&x_{n}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&{...}&y_{n}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&{y_{2}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&{y_{3}}\end{vmatrix}}+...+{\begin{vmatrix}x_{n-1}&x_{n}\\y_{n-1}&{y_{n}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&{y_{1}}\end{vmatrix}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left[(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+\dots +(x_{n-1}y_{n}-x_{n}y_{n-1})+(x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n})\right]}$。

使用范例

如右图，${\displaystyle ABCDE}$ 为一个五边形。其座标（已依照逆时针顺序排序）分别为${\displaystyle A(5{,}0){,}B(7,10){,}C(-2,15){,}D(-10,2){,}E(-5{,}-6)}$。则由测量员公式可知，此五边形之面积为$${\displaystyle S_{ABCDE}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}5&7&-2&-10&-5&5\\0&10&15&2&-6&0\end{vmatrix}}}$$${\displaystyle ={\frac {1}{2}}[5\times 10-0+7\times 15-(-2)\times 10+(-2)\times 2-(-10)\times 15+(-10)\times (-6)-(-5)\times 2-5\times (-6)]}$

${\displaystyle =210.5}$

座标平面上的五个点所围成的五边形。