渐近增益模型

渐近增益模型（asymptotic gain model）^[1][2]，也称为Rosenstark方法^[3]，是由以下渐近增益的关系来表示负反馈放大器的增益：

${\displaystyle G=G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ ,}$

其中${\displaystyle T}$是输入源无效时的返回比（在只有单一回路，且由单输入模组组成的系统时，等于负的环路增益），G_∞是渐近增益，G₀是直接传递项。此型式的增益可以提供对于电路一些直观的直觉，而且比直接推导增益要容易计算。

图1：渐近增益模型的方块图^[4]

图1是渐近增益模型的方块图。渐近增益的关系也可以用信号流图表示，如图二。渐近增益模型是外元素定理（英语：extra element theorem）的特例。

图2：渐近增益模型的等效信号流图

名词定义

渐近增益G_∞是返回比趋近无限大时的系统增益：

${\displaystyle G_{\infty }=G\ {\Big |}_{T\rightarrow \infty }\ ,}$

而直接传递项G₀也称为前馈增益，是返回比为零时的系统增益：

${\displaystyle G_{0}=G\ {\Big |}_{T\rightarrow 0}\ .}$

优点

• 此模型表示回授放大器的特性，包括负载效应以及放大器电路及回授电路的特质。
• 一般回授放大器的设计是使返回比T远大于1。此时若假设直接传递项G₀很小（实际上多半也很小），系统的增益G会近似等于渐近增益G_∞。
• 渐近增益多半只是电路中被动元件的乘积，容易观察出来。
• 此模型不需要先确认回授的拓朴（串联－串联型，串联－分流型等），因为其分析方式是一样的。

实现方式

使用此模型分析，可分为以下步骤：

1. 选择一个电路中的相依电源（英语：dependent source）。
2. 找此电源的返回比。
3. 将电路中的T趋近无限大，调整电路，找到增益G_∞
4. 将电路中的T设定为为0，调整电路，找到增益 G₀。
5. 将T, G_∞和 G₀代入渐近增益的公式中。

上述的步骤可以在SPICE中用小信号模型的手工分析求得。此作法中，已经可以找到设备的相依电源。相反的，若是用实际设备进行实验，或是用数值产生的模型进行SPICE模拟，无法求得设备的相依电源，就需要透过其他方式来计算返回比。

和经典控制理论的关系

和经典回授控制理论中不考虑前馈项的影响（G₀），若省略前馈项，渐近增益模型的增益为

${\displaystyle G=G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}={\frac {G_{\infty }T}{1+{\frac {1}{G_{\infty }}}G_{\infty }T}}\ ,}$

在经典控制理论中，若开回路增益用A来表示，则有回授时的增益（闭回路增益）为：

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A}{1+{\beta }_{\mathrm {FB} }A}}\ .}$

比较上述两式，可以计算回授因素 β_FB：

${\displaystyle \beta _{\mathrm {FB} }={\frac {1}{G_{\infty }}}\ ,}$

而开回路增益为：

${\displaystyle A=G_{\infty }\ T\ .}$

若其准确度足够，上式公式是另外一个计算T的方式：计算开回路增益以及G_∞，用此式来计算T。一般这两项会比T容易计算。