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灾难性抵消

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数值分析中,灾难性抵消(英语:catastrophic cancellation[1][2]是指两个大小相近的数值的近似值相减,得到的差值可能和原始数值相减得到的真实的差值有很大差异,因而近似值的差值不能用作真实值差值的近似值。

例如,如果有两个螺柱,一个长,另一个长,用厘米刻度的尺子测量其长度,得到的近似值为。在相对误差方面,它们是真实长度的良好的近似值:近似值的误差小于真实长度的2%,即

但是,如果用这些近似长度相减,则差值为,而长度之间的真实差值是。用近似值算出的差,和用真实值算出的差相比,偏离了100%。

即使差值计算本身是精确的,灾难性抵消仍然有可能发生,如上例所示——它不是哪种类型的运算(如浮点运算)的属性;当输入值本身是近似值时,进行减法运算就必有灾难性抵消。实际上,根据Sterbenz引理英语Sterbenz lemma,浮点运算中,当输入值足够接近时,浮点差可以精确计算——浮点减法运算本身并未引入舍入误差

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形式分析

形式上,发生灾难性抵消是因为减法运算对邻近数值的输入是病态的:即使近似值与真实值 相比,相对误差不大,近似值差的与真实值差相对误差也会与真实值差成反比:

因此,两个近似值的精确差值与真实数字差值的相对误差为:

如果真实输入很接近,结果可能会非常大。

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参考文献

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