状态转移方程（State-transition equation）[1]定义为以下线性齐次状态方程的解。线性时不变状态方程
其状态向量为x、控制向量为u、附加扰动向量为w以及定值的系数矩阵A, B, E，此方程可以用求解线性微分方程的经典方式求解，或是用拉普拉斯变换求解。以下即用拉普拉斯变换求解。
上式的拉普拉斯变换为
其中x(0)是t = 0时的初始值向量。求解X(s)可得
![{\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6e01f8c53b3e996f3072a8d6c2340ad795204a)
因此，可以用拉普拉斯逆变换求得状态转移方程为
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}\mathbf {x} (0)+{\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)]{\Bigr \}}\\&=\mathbf {\Phi } (t)\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathbf {\Phi } (t-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]dt\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98456e2a2e7a88a08e993c89e6bcda03f5dd3e85)
其中Φ(t)是状态转移矩阵。
上述的状态转移方程只适用在初始时间定义在t = 0的情形。在控制系统研究里，尤其是离散资料的控制系统，常会要将状态转移流程拆解为一连串的转移，因此需要比较灵活的初始时间选择。令初始间表示为t0，对应的初始状态为x(t0)，假设输入u(t)和扰动w(t)是在t ≥ 0时给定。
从上述方程开始，设定t = t0，求解x(0)，可得
![{\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {\Phi } (-t_{0})\mathbf {x} (t_{0})-\mathbf {\Phi } (-t_{0})\int _{0}^{t_{0}}\mathbf {\Phi } (t_{0}-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]d\tau .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d375fa5656de1b34190807de9a639d1952415a4)
只要确定了状态转移方程，可以将输出向量表示为初始状态的函数。
![{\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6e01f8c53b3e996f3072a8d6c2340ad795204a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}\mathbf {x} (0)+{\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)]{\Bigr \}}\\&=\mathbf {\Phi } (t)\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathbf {\Phi } (t-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]dt\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98456e2a2e7a88a08e993c89e6bcda03f5dd3e85)
![{\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {\Phi } (-t_{0})\mathbf {x} (t_{0})-\mathbf {\Phi } (-t_{0})\int _{0}^{t_{0}}\mathbf {\Phi } (t_{0}-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]d\tau .}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d375fa5656de1b34190807de9a639d1952415a4)