生成矩阵

关于概率论中的生成矩阵，请见“转移率矩阵”。

在编码理论中，生成矩阵（英语：generator matrix）是一个矩阵，该矩阵的行是线性码的一组基。所有码字都是该矩阵的行的线性组合，也就是说，线性码是其生成矩阵的行空间。

术语

若 G 为一矩阵，它生成线性码 C 的码字（英语：codeword）的方式为，

w = s G,

其中 w 是线性码 C 的一个码字，而 s 是任意向量。^[1] 线性 ${\displaystyle [n,k,d]_{q}}$ 码的生成矩阵的格式为 ${\displaystyle k\times n}$，其中 n 为码字的长度，k 为信息比特的数量（作为向量子空间的 C 的维数），d 为码的最小距离，而 q 为有限域的大小, 即字典中符号的个数（因此 q = 2 表示二元码（英语：binary code），等等。）冗余比特的数量用 r = n - k 表示。

生成矩阵的标准形式为，^[2]

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$,

其中 ${\displaystyle I_{k}}$ 是 k×k 单位矩阵而 P 是 k×r 矩阵。当生成矩阵为标准形式时，码 C 在其前 k 个坐标位置为系统码（英语：Systematic code）。^[3]

生成矩阵可以用来构建一个码的奇偶检验矩阵（反过来也可以）。如果生成矩阵 G 是标准形式 ${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$，那么 C 奇偶校验矩阵就是^[4]

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}}$,

其中 ${\displaystyle P^{\top }}$ 是 ${\displaystyle P}$ 矩阵的转置。这是由于 ${\displaystyle C}$ 的奇偶检验矩阵是对偶码 ${\displaystyle C^{\perp }}$ 的一个生成矩阵。

等价码

如果一个码可以由另一个码通过下列两种变换得到的话，则码 C₁ 与码 C₂ 是等价的（记为C₁ ~ C₂）： ^[5]

1. 任意排列码的位置
2. 将固定位置上的做置换

等价码的最小距离相同。

参见

• (7,4)汉明码（英语：Hamming code (7,4)）