电偶极矩

在物理学里，电偶极矩衡量正电荷分布与负电荷分布的分离状况，即电荷系统的整体极性。

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。

水分子是一种极性化合物。这是因为其电子的不均匀分布成钝角状结构。此图显示出电荷的分离现象，负电荷占有红色区域，正电荷占有蓝色区域。

以有限距离隔开的两个同电量的异性电荷所形成的物理电偶极子与其电场线。

任意点偶极子（电偶极子、磁偶极子、声偶极子等等）的场线。

对于分别带有正电量${\displaystyle {+}q}$、负电量${\displaystyle -q}$的两个点电荷的简单案例，电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} }$为：

${\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {d} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {d} }$是从负电荷位置指至正电荷位置的位移矢量。

这方程意味着电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} }$的方向是从负电荷指向正电荷。注意到这跟在正电荷与负电荷之间的电场线的方向相反——从正电荷开始，在负电荷结束。这里并没有矛盾，因为电偶极矩与电偶极子的取向有关，即与电荷的相对位置有关；它不能单独直接地表示出电场线的方向。

称这双电荷系统为“物理电偶极子”。在距离超远于两个点电荷相隔距离之处，物理电偶极子所产生的电场，可以近似为其电偶极矩所产生的电场。令物理电偶极子的两个点电荷相隔距离${\displaystyle \mathbf {d} }$趋向于0，同时保持其电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} }$不变，则极限就是“点电偶极子”，又称为“纯电偶极子”。物理电偶极子产生的电场，其多极展开式的一次项目就是点电偶极子产生的电场。

简单电偶极子案例

一般而言，给定在区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$内的连续电荷分布，其电偶极矩为

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\,(\mathbf {r} '-\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r} '}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$是场位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$是源位置，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$是在源位置${\displaystyle \mathbf {r} '}$的电荷密度，${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '}$是微小体元素。

设定${\displaystyle N}$个点电荷，则电荷密度是${\displaystyle N}$个狄拉克δ函数的总和：

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{i}')}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{i}'}$是点电荷${\displaystyle q_{i}}$的位置矢量。

这些点电荷的电偶极矩为

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{\mathbb {V} '}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{i}')\,(\mathbf {r} '-\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r} '=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}(\mathbf {r} _{i}'-\mathbf {r} )}$。

对于两个同电量异性的电荷案例，标记正电荷与负电荷的位置分别为${\displaystyle \mathbf {r} _{+}'}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{-}'}$，则电偶极矩为

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}'-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}'-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}'-\mathbf {r} _{-}')=q\mathbf {d} }$。

电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )}$与位移矢量${\displaystyle \mathbf {d} }$的方向相同，都是从负电荷指向正电荷。由于电偶极子是中性的，电偶极矩与观察者的参考点${\displaystyle \mathbf {r} }$无关。

设定${\displaystyle N}$个电偶极子，其电偶极矩分别为${\displaystyle \mathbf {p} _{i},\ i=1,2,\dots ,n}$，则这些电偶极子的总电偶极矩为

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}}$。

由于每一个电偶极子都是中性的，整个系统也是中性的。因此，总电偶极矩与观察者的参考点${\displaystyle \mathbf {r} }$无关。

当论述像质子、电子一类的非中性系统时，会出现电偶极矩与参考点有关的问题。对于这些案例，常规是选择系统的质心为参考点，而不是任意点^[1]。电量中心似乎是比较合理的参考点，但是这会造成电偶极矩等于零的结果。选择质心为参考点可以保证电偶极矩是系统的一个内禀性质（intrinsic property）。

电偶极子产生的电势与电场

物理电偶极子跟场位置之间的距离关系。

如右图所示，设定正电荷${\displaystyle {+}q}$与负电荷${\displaystyle {-}q}$的位置分别为${\displaystyle \mathbf {r} _{+}=(0,0,d/2)}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{-}=(0,0,-d/2)}$，则在场位置${\displaystyle \mathbf {r} }$的电势${\displaystyle \phi }$为

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r_{+}}}-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r_{-}}}}$。

应用余弦定理，假设场位置离电偶极子足够远，${\displaystyle d/2\ll r}$，则${\displaystyle 1/r_{+}}$、${\displaystyle 1/r_{-}}$\可以分别近似为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\pm }}}&=\left(r^{2}+{\frac {d^{2}}{4}}\mp rd\cos {\theta }\right)^{-1/2}={\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {d^{2}}{4r^{2}}}\mp {\frac {d\cos {\theta }}{r}}\right)^{-1/2}\\&\approx {\frac {1}{r}}\left(1\pm {\frac {d\cos {\theta }}{2r}}\right)\\\end{aligned}}}$。

将这两个公式代入电势的方程，可以得到

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\approx {\frac {qd\cos {\theta }}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$。

设定电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} }$为

${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {r} _{+}-q\mathbf {r} _{-}=q\mathbf {d} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {d} }$是从负电荷指至正电荷的位移矢量。

则电势以矢量标记为

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$。

电偶极子的电势随着距离平方递减；而单独电荷是随着距离的一次方递减。所以电偶极子的电势递减速度比单独电荷快很多。

电偶极子的电场是电势的负梯度。采用球坐标${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$，电场${\displaystyle \mathbf {E} }$的三个分量${\displaystyle E_{r}}$、${\displaystyle E_{\theta }}$、${\displaystyle E_{\varphi }}$分别为

${\displaystyle E_{r}=-\ {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} )}{\partial r}}={\frac {p\cos {\theta }}{2\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}}$、

${\displaystyle E_{\theta }=-\ {\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} )}{\partial \theta }}={\frac {p\sin {\theta }}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}}$、

${\displaystyle E_{\varphi }=-\ {\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial \phi (\mathbf {r} )}{\partial \varphi }}=0}$；

或者，以矢量表示为

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {p(2\cos {\theta }\ {\hat {\mathbf {r} }}+\sin {\theta }\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}})}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}={\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}}$。

注意到这个方程并不完全正确，这是因为电偶极子的电势有一个奇点在它所处的位置（原点${\displaystyle \mathbf {O} }$）。更仔细地推导，可以得到电场为^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$；

其中，${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )}$是三维狄拉克δ函数

更详尽细节，请参阅偶极子。

电偶极矩密度与电极化强度

假设一个系统里有${\displaystyle N}$个电荷，标记第${\displaystyle i}$个电荷${\displaystyle q_{i}}$的位置为${\displaystyle \mathbf {r} _{i}'}$，则这系统的电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\mathbf {r} _{i}'}$给出其极化程度。但是，对于中性系统，电偶极矩无法给出这些电荷的位置资料。“电偶极矩密度”${\displaystyle {\mathfrak {p}}(\mathbf {r} ')}$定义为每单位体积的电偶极距；它可以给出在空间内某区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$的总电偶极矩：

${\displaystyle \mathbf {p} =\int _{\mathbb {V} '}{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$的电偶极矩密度${\displaystyle {\mathfrak {p}}(\mathbf {r} ')}$所产生的电势为

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

在计算包含这些电荷的区域的电势或电场时，电极化强度${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$拥有关于这些电荷的一些资料。假若要更准确地计算电势或电场，则电极化强度必需拥有更多关于这些电荷的资料。对于某些案例，只设定${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )={\mathfrak {p}}(\mathbf {r} )}$就足够准确了；对于有些特别案例，可能需要给出更多细节描述，例如，除了电偶极矩密度以外，再添加电四极矩密度（electric quadrapole moment density）资料。

介电质内部的自由电荷与束缚电荷

束缚电荷是束缚于介电质内部某微观区域的电荷。这微观区域指的是像原子或分子一类的区域。自由电荷是不束缚于介电质内部某微观区域的电荷。电极化会稍微改变物质内部的束缚电荷的位置，虽然这束缚电荷仍旧束缚于原先的微观区域，这形成一种不同的电荷密度，称为“束缚电荷密度”${\displaystyle \rho _{bound}}$：

${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$。

总电荷密度${\displaystyle \rho _{total}}$是“自由电荷密度”${\displaystyle \rho _{free}}$与束缚电荷密度的总和：

${\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}}$。

在介电质的表面，束缚电荷以表面电荷的形式存在，其表面密度称为“面束缚电荷密度”${\displaystyle \sigma _{bound}}$：

${\displaystyle \sigma _{bound}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }}$；

其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }\,}$是从介电质表面往外指的法矢量。假若，介电质内部的电极化强度是均匀的，${\displaystyle \mathbf {P} }$是个常数矢量，则这介电质所有的束缚电荷都是面束缚电荷。

高斯定律表明，电场的散度等于总电荷密度${\displaystyle \rho _{total}}$除以电常数：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\epsilon _{0}}$。

电极化强度的散度等于负束缚电荷密度：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}}$。

电位移${\displaystyle \mathbf {D} }$以方程定义为

${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$；

所以，电位移的散度等于自由电荷密度${\displaystyle \rho _{free}}$：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}}$。

介电质产生的电势

假设一介电质拥有自由电荷密度${\displaystyle \rho _{free}(\mathbf {r} ')}$、电偶极矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}$、电四极矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {Q}}}(\mathbf {r} ')}$等等，平滑地分布于区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$，则其电势为^[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {{\mathfrak {Q}}_{ij}(\mathbf {r} ')(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{2|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{5}}}\dots \right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$；

其中，${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{3}}$是${\displaystyle \mathbf {r} }$的三个直角坐标。

为了方便运算，只取至电偶极矩密度项目，

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

应用矢量恒等式与分部积分法，带单撇号的梯度符号表示对于源位置的偏微分，

${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$，

积分方程的右手边第二个项目变为

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '-\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$。

应用散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '=\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '}$。

假设区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$变为无穷大，则其闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的积分项目趋向于零，所以，

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-\ {\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

注意到电势乃是由总电荷决定：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{total}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

由于积分于任意体积，以下全等式成立（由于不会造成歧义，可以不使用单撇号）：

${\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} )}$。

因此，束缚电荷密度与电偶极矩密度的关系为

${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}}$。

设定电极化强度为电偶极矩密度^[4]：${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}}$，则

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}}$。

类似地，可以将电四极矩密度项目加入为电极化强度的一部分。例如，在计算电磁波的散射于介电质时，电荷、电偶极子、电多极子等等，这些实体会各自不同地散射电磁波，因此，可能需要使用比电偶极矩近似法更加精确的方法^[5]。

面束缚电荷密度

均匀电偶极子分布会造成面束缚电荷的出现。简图上方的蓝色粗线表示负性面电荷；下方的红色粗线表示正性面电荷。

前面论述做了一个假设，即区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$变为无穷大。这假设促使闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的积分项目趋向于零；倘若不作这假设，倘若区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$的体积为有限尺寸，则闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的积分项目会展示出面束缚电荷。如右图所示，电偶极子均匀地分布于区域内部，每一个电偶极子的矢头（正电荷）与矢尾（负电荷）会互相抵消。但是，在这区域的闭曲面，矢头与矢尾无法互相抵消，电偶极子的矢头形成了正性面电荷，而矢尾形成了负性面电荷。这两组异性面电荷会产生电场，其方向与电偶极矩的方向相反。

假设自由电荷密度为零，电极化强度为电偶极矩密度，则电势以方程表示为

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$。

设定束缚电荷密度为

${\displaystyle \sigma _{bound}={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}$；

其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$是闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的法矢量，从${\displaystyle \mathbb {S} '}$往外指出。

那么，在区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$内的电偶极子分布所产生的电势，可以视为是由体束缚电荷密度${\displaystyle \rho _{bound}}$与面束缚电荷密度${\displaystyle \sigma _{bound}}$共同产生：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\sigma _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ da'+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

范例：处于均匀外电场的介电质球

假设介电质球的相对电容率大于四周环境的电极化率，当施加均匀外电场后，电位移场线展示出的图样^[6]。

思考处于均匀外电场${\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }=E_{\infty }{\hat {\mathbf {z} }}}$的一个线性均匀介电质球，其相对电容率为${\displaystyle \epsilon _{r}}$。采用球坐标系${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$，则对于方位角对称系统，拉普拉斯方程的一般解为

${\displaystyle \phi (r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{l}\ r^{l}+B_{l}\ r^{-(l+1)})P_{l}(\cos {\theta })}$；

其中，${\displaystyle A_{l}(\cos {\theta })}$是系数，${\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })}$是勒让德多项式。

设定球坐标系的原点与介电质球的球心同位置，在球内部，不容许${\displaystyle r^{-(l+1)}}$项目存在，否则，在球心位置，电势会发散，所以，

${\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }A_{l}\ r^{l}P_{l}(\cos {\theta })}$。

在球外部，当${\displaystyle r}$超大于球半径${\displaystyle R}$时，外电场项目是主要项目，其它项目都趋向于零，因此电势趋向于${\displaystyle -E_{\infty }r\cos {\theta }}$，所以，

${\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+\sum _{l=0}^{\infty }B_{l}r^{-(l+1)}P_{l}(\cos {\theta })}$。

在球表面，两电势函数必需满足以下边界条件：

${\displaystyle \phi _{in}(R,\theta )=\phi _{out}(R,\theta )}$、

${\displaystyle \epsilon _{r}\left.{\frac {\partial \phi _{in}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}=\left.{\frac {\partial \phi _{out}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}}$。

匹配${\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })}$相同的项目，第一个边界条件导致

${\displaystyle A_{1}R=-E_{\infty }R+B_{1}R^{-2}}$、

${\displaystyle A_{l}R^{l}=B_{l}R^{-(l+1)},\qquad \qquad l\neq 1}$；

第二个边界条件导致

${\displaystyle \epsilon _{r}A_{1}=-E_{\infty }-2B_{1}R^{-3}}$、

${\displaystyle \epsilon _{r}lA_{l}R^{(l-1)}=-(l+1)B_{l}R^{-(l+2)},\qquad \qquad l\neq 1}$。

从这些方程，经过一番运算，可以得到

${\displaystyle A_{1}=-\ {\frac {3E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}}$、

${\displaystyle B_{1}={\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}}$；

其它系数都等于零：

${\displaystyle A_{l}=B_{l}=0,\qquad \qquad l\neq 1}$。

所以，在球外部，电势为

${\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+{\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }\cos {\theta }}{(\epsilon _{r}+2)r^{2}}}}$。

这等价于外电场${\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }}$与电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \epsilon _{0}\left({\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$所共同产生的电势，或者，外电场与电偶极矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}={\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\epsilon _{0}\left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$、半径为${\displaystyle R}$的介电质球所共同产生的电势。

因子${\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}}$称为克劳修斯-莫索提因子。这因子显示出，假若${\displaystyle \epsilon _{r}<1}$，则感应电极化强度会改变正负号。当然，实际上，由于介电质的${\displaystyle \epsilon _{r}\geq 1}$，这状况永远不会发生。但是，假设这介电质球含有两种不同的介电质，${\displaystyle \epsilon _{r}}$会被替代为内层与外层的相对电容率的比例，而这比例有可能大于或小于1。

在球内部，电势为

${\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=-{\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }r\cos {\theta }}$。

电场为

${\displaystyle \mathbf {E} _{in}=-\nabla \phi _{in}(r,\theta )={\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-\ {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$。

这显示出电偶极子的“去电极化效应”，所产生的去极化场${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$为

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}=\mathbf {E} _{in}-\mathbf {E} _{\infty }=-\ \left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }=-{\frac {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}{3\epsilon _{0}}}}$。

注意到在介电质球内部，电场具有均匀性，并且与外电场平行。电场与电偶极矩密度的关系为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} _{in}}$；

电偶极矩密度也是均匀的，所以，体束缚电荷密度为零：

${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=0}$。

在介电质球表面，面束缚电荷密度是内外两电场的径向分量的差值，或电偶极矩密度与径向单位矢量的内积：

${\displaystyle \sigma _{bound}={3}\varepsilon _{0}{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }\cos {\theta }={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}$。

基本粒子的电偶极矩

近期，有很多实验研究专注于测量基本粒子和复合粒子的电偶极矩，这包括电子、中子、μ子、τ子、水银等等。这是一项非常热门的题目，电偶极矩的存在违反了宇称对称性（P）与时间反演对称性（time reversal symmetry）（T）^{[注 1]}。假定CPT对称性（CPT symmetry）正确无误，则由于时间破坏，电偶极矩数值会给出一个大自然CP破坏的衡量，并且这衡量与理论模型几乎无关。因此，电偶极矩数值给CP破坏的尺寸设定了強約束；粒子物理学的标准模型的任何延伸都必需遵守这強約束。

因为不符合这越来越严格的电偶极矩上限，很多理论实际已被否定^[7]。换另一方面思考，已确立的理论——量子色动力学——所允许的电偶极矩数值比限制大了许多；这导致出强CP问题（strong CP problem）：为什么似乎量子色动力学并没有摧毁CP对称性？这也促使物理学者积极地寻找像轴子一类的新粒子^[8]。

物理学者精心设计的最新一代实验对于电偶极矩的超对称值域具有高灵敏度；这与正在大型强子对撞机进行的实验相辅互成^[9][10]。

对于各种粒子的电偶极矩，现在最准确的估计为

中子：${\displaystyle |p_{n}|<2.9\times 10^{-26}\ e\ \mathrm {cm} \ (90\%C.L.)}$^[11]、

电子：${\displaystyle |p_{e}|<1.05\times 10^{-27}\ e\ \mathrm {cm} \ (90\%C.L.)}$^[12]、

水银：${\displaystyle |p_{Hg}|<3.1\times 10^{-29}\ e\ \mathrm {cm} \ (95\%C.L.)}$^[13]。

理论

由于内禀电偶极矩而产生的宇称（P）破坏和时间反演（T）破坏。

假设基本粒子拥有内禀电偶极矩，则宇称（P）和时间反演对称性（T）都会被破坏。举例而言，思考中子的磁偶极矩和假定的电偶极矩，这两种矢量的方向必需相同。但是，时间反演会逆反磁偶极矩的方向，不会改变电偶极矩的方向^{[注 2]}；空间反演（宇称）会逆反电偶极矩的方向，不会改变磁偶极矩的方向^{[注 3]} 。电偶极矩的存在破坏了这些对称性。假定CPT对称性正确无误，则时间反演破坏也促使CP对称性被破坏。

标准模型的预测

按照前面论述，为了营造有限值电偶极矩，必需先存在有破坏CP对称性的理论程序。实验者已经在弱相互作用的实验中观测到CP破坏，也已经能够用标准模型的卡比博-小林-益川矩阵中的CP破坏相位来解释CP破坏。但是，这解释所获得的CP破坏数值非常微小，因此对于电偶极矩的贡献也微乎其微：${\displaystyle |p_{n}|\sim 10^{-32}\ e\ \mathrm {cm} }$^[14]。远远低于现在最精密实验所能测量到的数值。电偶极矩实验可以用来核对很多从标准模型延伸的崭新理论，例如如最小超对称标准模型（minimal supersymmetric standard model）、左右对称模型（left-right symmetric model）等等。这些理论估计的电偶极矩数值在可核对值域内。

参见

• 偶极子
• 磁偶极矩
• 键偶极矩
• 中子电偶极矩
• 电子电偶极矩（electron electric dipole moment）
• 轴多极矩（axial multipole moments）
• 圆柱多极矩（cylindrical multipole moments）
• 球多极矩（spherical multipole moments）