毕达哥拉斯平均

毕达哥拉斯平均是三种平均数的总称，分别是算术平均数（AM）、几何平均数（GM）及调和平均数（HM）。这些平均数在几何学和音乐上有许多应用，毕达哥拉斯学派以及往后的古希腊数学家对这些平均数的比例进行了许多研究^[1]。

二个数a及b的平方平均数及三种毕达哥拉斯平均的图示。调和平均数标示为H，几何平均数标示为G，算术平均数标示为A，平方平均数标示为Q

定义

其定义如下：

• ${\displaystyle AM(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}$
• ${\displaystyle GM(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$
• ${\displaystyle HM(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

性质

上述的任一个平均数${\textstyle \operatorname {M} }$，在正的实数输入下，都满足以下性质：

一阶齐次

${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\ldots ,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

交换下的不变

${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$，对于任意${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$.

单调

若${\displaystyle a\leq b}$，则${\displaystyle \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\leq \operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$

幂等

${\displaystyle M(x,x,\ldots x)=x}$，针对所有的${\displaystyle x}$

由于单调和幂等，可知以下平均和极值之间的关系恒存在： $${\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$

若所有${\displaystyle x_{i}}$均为正，调和平均数和算术平均数互为倒数的对偶： $${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}},}$$ 而几何平均数是其本身倒数的对偶： $${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}.}$$

平均之间的不等式

若所有${\displaystyle x_{i}}$均为正，三个平均数之间有以下的顺序关系：

${\displaystyle min\geq AM(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq GM(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq HM(x_{1},\ldots ,x_{n})<max}$

其中的等式成立当且仅当所有的${\displaystyle x_{i}}$都相等。上式的不等式即为平均数不等式，也是幂平均不等式中的一个特例。其证明根据算术-几何平均值不等式、${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$以及倒数对偶性（${\displaystyle \min }$和${\displaystyle \max }$两者也是倒数对偶）

毕达哥拉斯平均的研究和盖理论（英语：majorization）和舒尔凸函数（英语：Schur-convex function）的研究有密切关系。调和平均数和几何平均数是其引数的凸对称函数，因此是舒尔凸函数，而算数平均数是引数的线性函数，是凸函数也是凹函数。

参照

• 算术-几何平均数