盲信号分离

盲信号分离（信号分离，盲信号源分离）指的是从多个观测到的混合信号中分析出没有观测的原始信号。通常观测到的混合信号来自多个传感器的输出，并且传感器的输出信号独立（线性不相关）。盲信号的“盲”字强调了两点：1)原始信号并不知道；2)对于信号混合的方法也不知道^[1]。最常用在的领域是在讯号处理^[2]，且牵涉到对混合讯号的分析。盲信号分离最主要的目标就是将原始的信号还原出原始单一的讯号。^[1]一个经典的例子是鸡尾酒会效应，当许多人一起在同一个空间里说话的时候，听者可以专注于某一个人说的话上，人类的大脑可以即时处理这类的语音讯号分离问题，但是在数位语音处理里，这个问题还是一个困难的问题。^[3]

盲信号分离在早期时集中于研究时间讯号，像是声音，然而，盲信号分离目前已经可以应用在多维度的资料上，例如图片和张量这类不含时间维度的数据。^[4]

这个问题到目前为止还没有很好的解决方案，但是在一些特定的情况下，有一些很有用的解决方式。例如，当时间没有延迟的时候，我们可以采用主成分分析或独立成分分析。尽管这个问题已经有许多解决方式，科学家们仍然在持续对其进行研究。^[5]

问题基本描述

如果可以对信号混合的方式直接建模，当然是最好的方法。但是，在盲信号分离中我们并不知道，信号混合的方式，所以，只能采用统计的方法。算法做出了如下的假定：

具有 ${\displaystyle m}$ 个独立的信号源 ${\displaystyle s_{1}(t),...,s_{m}(t)}$ 和 ${\displaystyle n}$ 个独立的观察量 ${\displaystyle x_{1}(t),...,x_{n}(t)}$，观察量和信号源具有如下的关系

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=A\mathbf {s} (t)}$

其中 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)={[x_{1}(t),...,x_{n}(t)]}^{T}}$, ${\displaystyle \mathbf {s} (t)={[s_{1}(t),...,s_{m}(t)]}^{T}}$, ${\displaystyle A}$ 是一个 ${\displaystyle {n}\times {m}}$ 的系数矩阵，原问题变成了已知 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$ 的独立性，求对 ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$ 的估计问题。

假定有如下公式

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=W\mathbf {x} (t)}$

其中 ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ 是对 ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$ 的估计，${\displaystyle W}$ 是一个 ${\displaystyle {m}\times {n}}$ 系数矩阵，问题变成了如何有效的对矩阵 ${\displaystyle W}$ 做出估计。^[1]

问题基本假设

1. 各源信号 ${\displaystyle s_{i}(t)}$ 均为零均值信号，实随机变量，信号之间统计独立。如果源信号 ${\displaystyle s_{i}(t)}$ 的概率密度为 ${\displaystyle p_{i}(s_{i})}$，则 ${\displaystyle s(t)}$ 的概率密度为 ${\displaystyle p(s)=\prod _{i=1}^{n}p_{i}(s_{i})}$。
2. 源信号数目 ${\displaystyle m}$ 小于等于观察信号数目 ${\displaystyle n}$，即 ${\displaystyle m\leq n}$。混合矩阵 ${\displaystyle A}$ 是一个 ${\displaystyle n\times {m}}$ 的矩阵，一般会假设 ${\displaystyle A}$ 满秩(${\displaystyle \mathrm {rank} (A)=m}$)。
3. 源信号中只允许有一个高斯分布，因为任意数量的独立高斯分布和依旧是高斯分布，这意味着当多于一个高斯分布时，源信号变得不可分(难以分辨)。^[1]

自然梯度解法

自然梯度法的计算公式为：${\displaystyle W(n+1)=W(n)+\eta (n)[I-\phi (y(n))y^{T}(n)]W(n)}$

其中${\displaystyle W}$为我们需要估计的矩阵。${\displaystyle \eta (n)}$为步长,${\displaystyle \phi (y)}$是一个非线性变换，比如${\displaystyle \phi (y)=\phi (y^{3})}$

实际计算时y为一个${\displaystyle m\times k}$矩阵，m为原始信号个数，k为采样点个数

算法描述

1)初始化W(0)为单位矩阵

2)循环执行如下的步骤,直到W(n+1)与W(n)差异小于规定值${\displaystyle \tau }$(计算矩阵差异的方法可以人为规定)，有时候也人为规定迭代次数

3)利用公式${\displaystyle y(n)=W(n)y(n-1)}$,(其中${\displaystyle y(-1)=x}$)

4)利用公式${\displaystyle W(n+1)=W(n)+\eta (n)[I-\phi (y(n))y^{T}(n)]W(n)}$^[1]

深度学习解法

有一部分的论文是用非线性回归的技术来找出，而说到经典的作法，就要提到 Hershey, John R.的论文^[6]，要解决的是盲信号分离，作法是将时频谱的抽样时刻和频率，利用神经网络和集群来分成不同群，每一群代表的是哪一个讲话者在那个抽样里占了最大的比例，这种方法称为"deep clustering"，有许多论文都是在这上面做延伸^[7]。

然而利用时频谱来作为讯号的特征有几项缺点：

• 短时距傅立叶变换是一个通用的讯号转换，然而在讯号分离的任务上，未必是最佳的讯号特征。

• 在反短时距傅立叶变换时，需要重建原始讯号的相位（phase），即使可以分离出跟原始信号一样的时频谱，然而具有偏差的估计会影响到重建讯号的准确度。

• 利用时频谱来做讯号分离是需要混和讯号高分辨率的频率分解，要用横跨较长时间的窗函数来做短时距傅立叶变换，这个会增加系统的延迟，不利于即时的语音处理任务，像是在电信设备中的应用。^[8]

这些问题都发生在用时频谱来做讯号分离，而最直觉的解决方式就是直接在时域上做，这样就可以避免将声音的大小声和相位做分离。其中表现的最好的就是Conv-Tasnet^[9]这个方法，Conv-Tasnet可分为三个区块，编码器（encoder）、分离器（separator）和解码器（decoder），编码器将一小段的混和讯换转换为在特征空间（feature space）上的特征向量，借由这个特征向量，分离器要找出一个相对应的遮罩（mask），将特征向量和遮罩做相乘后，再用解码器将其转换为原始讯号源所发出的单一讯号。

历史

盲信号分离最早由Herault和Jutten在1985年提出，发表在一篇法文杂志上^[10]。随后他们相继发表文章对盲信号问题做出分析，提出了一种自适应的方法^[11]。其他一些学者对他们的方法进行了分析^[12]，分析了他们提出的方法的稳定性，在他们工作的基础上^[13]，引入了神经网络的方法对盲信号进行分离，并对其稳定性进行了分析。