瞬子

瞬子(instanton)来自于运动方程式的经典解，无论在量子力学或量子场论，它都是有限的且为非零作用量。更精确地说，它是欧氏空间中经典场论运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色：

• 在路径积分中，用于对物理系统的经典效应进行量子修正。
• 它们可用于研究许多物理系统的穿隧效应，例如杨-米尔斯理论。

4维杨-米尔斯瞬子

若

${\displaystyle S_{YM}=\int tr(F\wedge *F)}$

是杨-米尔斯作用量（其中*是霍奇对偶），4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{YM}}{\delta A}}=d_{D}F=dF+[A,F]=0}$

其中的${\displaystyle d_{D}}$是外共变导数。因为比安基恒等式

${\displaystyle d_{D}*F=0}$

若

${\displaystyle F=\pm *F}$

我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括BPST瞬子。

陈-西蒙斯

第二陈类 / 陈作用量是

${\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}tr(F^{2})={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}}$

在流形M的边界，既然上面的作用量，联络形式也逼近

${\displaystyle A\to 0\equiv gdg^{-1}}$

这是因为

${\displaystyle A\equiv g(d+A)g^{-1}}$

而且曲率形式

${\displaystyle F\to 0}$

因为陈-西蒙斯形式

${\displaystyle CS_{3}=tr(AF-{\frac {1}{3}}A^{3})}$

所以

${\displaystyle CS_{3}\to -tr(A^{3})/3}$

${\displaystyle \int _{M}c_{2}=-{\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}tr(A^{3})/3={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}}$

若M是R4，其边界是${\displaystyle \partial M=\partial R^{4}=S_{\infty }^{3}}$，一个3维球面。因为A是规范群G值的，A在边界定义一个从G到${\displaystyle S^{3}}$的函数。这样的函数是 第三同伦类 ${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$分类的。的确，上面的第二陈数是一个卷绕数。

${\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}=\nu \in \mathbb {Z} }$

所以若

${\displaystyle S=S_{YM}+\theta \int c_{2}}$

那么威克转动的路径积分成为

${\displaystyle Z=\int dAe^{iS(A)}\to e^{i\theta \nu }\int e^{-S_{YM}}}$

通过Bogomol'nyi bound（BPS态），我们可以用卷绕数分类BPST瞬子。

参见

• BPST瞬子
• BPS态
• 磁单极子
• 孤子

参考文献

• http://www.jstor.org/stable/79638 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Coleman, Aspects of Symmetry
• Polyakov, Gauge Fields and Strings
• Weinberg, QFT Volume 2
• Shifman. Advanced topics in QFT
• David Tong. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Michael Nielsen. Intro to Yang Mills. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）