空矩阵

此条目的主题是行数或列数为零的矩阵。关于行数与列数皆不为零，但其元素全为零的矩阵，请见“零矩阵”。

空矩阵是指至少有一个维度为零的矩阵，亦即行数或列数为零的矩阵。^[1][2]最小的空矩阵为0×0矩阵。空矩阵亦可以是0×5或10×0等形式^[3]。空矩阵不会存在任何元素。

定义

空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个${\displaystyle n\times 0}$和${\displaystyle 0\times p}$的空矩阵相乘是一个${\displaystyle n\times p}$的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己^[4]:18。

性质

• 维数相同的空矩阵与空矩阵相乘仍为空矩阵^[5]

  ${\displaystyle \left[\ \right]\times \left[\ \right]=\left[\ \right]}$

• 空矩阵与标量或向量相乘仍为空矩阵^[5]
• ${\displaystyle n\times 0}$的空矩阵和${\displaystyle 0\times p}$的空矩阵相乘结果为${\displaystyle n\times p}$的零矩阵^[5]
• ${\displaystyle 0\times m}$的空矩阵和任一${\displaystyle m\times n}$的矩阵相乘结果为${\displaystyle 0\times n}$的空矩阵^[5]
• 任一${\displaystyle m\times n}$的矩阵和${\displaystyle n\times 0}$的空矩阵相乘结果为${\displaystyle m\times 0}$的空矩阵^[5]
• 空矩阵的行列式约定为1，即空积。^[4]
• 空矩阵${\displaystyle \left[\ \right]}$等于零维零矩阵${\displaystyle \mathbf {0} _{0\times 0}}$等于零维单位矩阵${\displaystyle I_{0\times 0}}$。^[6]

  ${\displaystyle \left[\ \right]=\mathbf {0} _{0\times 0}=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}}$

• 空矩阵的反矩阵为自身。^[4]:18

  由于${\displaystyle \left[\ \right]=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}}$

  因此${\displaystyle \left[\ \right]\left[\ \right]^{-1}=\left[\ \right]=I_{0\times 0}}$，满足反矩阵与自身相乘为单位矩阵的定义。

• 空矩阵的秩为0^[7]

参见

• 零矩阵