在广义等时降线问题中,物体的运动时间不必固定,而是初始释放位置
的函数
。阿贝尔力学问题思考,在
已知的情况下,如何找出曲线的方程式;等时降线问题是此运动时间为常数的特殊情况。
因物体在无摩擦的轨道上滑行,故力学能守恒。其力学能具有以下表达式:
式中等号左侧为物体的初力学能,
为物体的重力位能,
为物体的动能(左式中缺少此项是因为物体起初静止)。
又因物体沿曲线下滑,
(
为曲线的弧长)。整理以上所得,
。
这里的
设定为物体距离滑行终点的路径长。考虑到此路径长必然随着时间的推进缩短,等号右侧应取负值。
。
下滑时间是
自
(起始高度)至
(末高度)的积分。
。
此关系式称为阿贝尔积分式,并且在给定
的情况下很容易求出积分值。但根据题目设定,必须从积分值求出
。这里注意到等号右侧中的积分式实际上为
与
的折积,可将等式两侧同做拉普拉斯变换成为
因为
,我们得到了
与
两者拉普拉斯变换后的关系式:
。
以上即是未指定
时可以得到最后的结果。对于等时降线问题,
,因此其拉普拉斯变换为
。
因而
。
将此式做逆变换即可得
。
又
,易得
将等号两侧取微小量,
代回上方
与
的关系式中,得
此式与解析解中得出形式相同的结果,故其解亦为摆线。回顾解析解的结果,
相互比较得
。
又摆线的绕转圆半径
,最后我们得到
。