箕舌线

箕舌线是平面曲线的一种，也被称为阿涅西的女巫（英语：The Witch of Agnesi）^[1][2][3]。

箕舌线

给定一个圆和圆上的一点O。对于圆上的任何其它点A，作割线OA。设M是O的对称点。OA与M的切线相交于N。过N且与OM平行的直线，与过A且与OM垂直的直线相交于P。则P的轨迹就是箕舌线。

箕舌线有一条渐近线，它是上述给定圆过O点的切线。

方程

设O是原点，M在正的y轴上。假设圆的半径是a。

则曲线的方程为 ${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$。

注意如果a=1/2，则曲线化为最简单的形式： ${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

如果${\displaystyle \theta \,}$是OM与OA的夹角，则曲线的参数方程为：

${\displaystyle x=2a\tan \theta ,\ y=2a\cos ^{2}\theta .\,}$

如果${\displaystyle \theta \,}$是OA与x轴的夹角，则曲线的参数方程为：

${\displaystyle x=2a\cot \theta ,\ y=2a\sin ^{2}\theta .\,}$

性质

参数a分别为1,2,4,8时的箕舌线

• 箕舌线与渐近线之间的面积是圆面积的四倍（也就是${\displaystyle 4\pi a^{2}}$）。
• 箕舌线绕着渐近线旋转，则旋转体的体积为${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$。
• 曲线的重心位于${\displaystyle (0,{\frac {a}{2}})}$。

历史

皮埃尔·德·费马曾在1630年研究这条曲线。1703年时格兰迪（英语：Guido Grandi）提出了建构这条曲线的方法。1718年时格兰迪建议将这条曲线命名为versoria，意思是张帆的绳子，并将这条曲线的意大利文名称命名为versiera^[4]

1748年时玛利亚·阿涅西出版了著名的著作《Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana》，其中箕舌线仍沿用格兰迪取的名称versiera^[4]，一恰好当时的意大利文Aversiera/Versiera是衍生自拉丁文的Adversarius，是魔鬼的一个称呼“与神为敌的”，和女巫是同义词^[5]。也许因为这个原因，剑桥教授 约翰·科尔森（英语：John Colson）就误译了这条曲线。许多近代有关阿涅西及此曲线的著作对于误译的原因有些不同的猜测^[6][7][8]斯特洛伊克（英语：Dirk Jan Struik）认为：

versiera这个字是衍生自拉丁文的vertere，但后者也是意大利文avversiera（女魔鬼）的缩写。英格兰有些聪敏者将之翻译成女巫（英语：witch），而这好笑的双关语仍存于多数的英文教材里。在费马的著作（Oeuvres, I, 279-280; III, 233-234）就已经出现这条曲线，其名称versiera是格兰迪取的，在牛顿的曲线分类中，它是第63类……第一个使用女巫来描述这条曲线的可能是威廉森在1875年的《Integral calculus》中首次使用^[9]

另一方面，史蒂芬·史蒂格勒认为是格兰迪自己在玩文字游戏^[10]。

应用

单一水波的截面类似箕舌线

箕舌线除了其理论的性质外．也常出现在现实生活中．不过这次应用是在20世纪末期及21世纪才有足够的了解。在为一些物体现象建立数学模型时，会出现箕舌线^[11]。 此方程式近似光线及X光的谱线分布，也是共振电路中的能量耗散量。

箕舌线和柯西分布的几率密度函数有相同的形式。

光滑小山岳的截面也类似箕舌线。在数学建模中已用箕舌线作为一种流场的障碍物^[12][13]。