线性稳定

在微分方程和动力系统中，非线性系统的稳态线性不稳定（linearly unstable）的意思是其解线性化后，有${\displaystyle dr/dt=Ar}$的形式，而r为相对稳态的扰动，而A是线性算子，其谱的特征值有正的实部。若所有的特征值都为负，则此解即为线性稳定（linearly stable）。线性稳定的其他名称有指数稳定（exponential stability）或一阶近似稳定（stability in terms of first approximation）^[1][2]。若其中有特征值的实部为零，无法求解一阶接似的稳定性，会称为centre and focus problem^[3]。

例子

常微分方程

微分方程 $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x-x^{2}}$$ 有两个静止（非时变）解：x = 0和x = 1. x = 0的线性化为 ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$。线性算子是A₀ = 1。唯一的特征值为${\displaystyle \lambda =1}$。此方程的解会指数成长；the 静止点x = 0是线性不稳定的。

若要推导x = 1的线性化，可以使用下式 ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}}$，其中r = x − 1。线性方程为${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$；线性算子为A₁ = −1，唯一的特征值为${\displaystyle \lambda =-1}$，因此此静止点为线性稳定。

非线性水丁格方程

非线性水丁格方程（英语：nonlinear Schrödinger equation） $${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$其中u(x,t) ∈ C，且k > 0，有孤波解${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$^[4]。 要推导孤波的线性化，考虑以下形式的解 ${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$。线性化方程${\displaystyle r(x,t)}$可以用下式求得 is given by $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$ 其中$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$ 而$${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$ 且$${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$ 微分算子. 根据Vakhitov–Kolokolov稳定性判据（英语：Vakhitov–Kolokolov stability criterion）^[5]，当k > 2时，A的谱有正的点状特征值，因此线性化方程是线性（指数）不稳定，若0 < k ≤ 2，其谱A是纯虚数，因此对应孤波为线性稳定。

需要说明线性稳定不一定表示系统稳定。 特别，在k = 2时，其孤波不稳定。另一方面，在0 < k < 2时，孤波不但是线性稳定，也是轨道稳定性^[6]。

相关条目

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• Vakhitov–Kolokolov稳定性判据（英语：Vakhitov–Kolokolov stability criterion）