纤维流形

在数学中，纤维流形（英语：Fibrifold），又称为纤维形，是一种基底空间为轨形的纤维空间（英语：fiber space），在2001年时由约翰·何顿·康威、奥拉夫·德尔加多·弗里德里希（Olaf Delgado Friedrichs）与 丹尼尔·H·赫森（Daniel H. Huson）等人提出，介绍了一个三维纤维流形的符号系统，并用这个名字来分配给219仿射空间群类型。其中184个被认为是可还原，和35个不可约的。

35/36不可约的立方空间群, 在纤维形和标准索引赫曼—莫金记号（英语：Hermann–Mauguin notation）以红色表示. 212、213对映对给予同样的纤维形符号。 子群索引 1,2,4,8,16 从顶部到底部被划分为/4群及四次索引（以蓝色表示）。

不可约立方空间群

35个不可约空间群分别对应立方空间群。

35个不可约空间群

8o:2	4−:2	4o:2	4+:2	2−:2	2o:2	2+:2	1o:2
8o	4−	4o	4+	2−	2o	2+	1o
8o/4	4−/4	4o/4	4+/4	2−/4	2o/4	2+/4	1o/4
8−o	8oo	8+o	4− −	4−o	4oo	4+o	4++	2−o	2oo	2+o

36个立方空间群

族 点群	六八面体 *432 (m3m)	六四面体 *332 (43m)	螺旋形 432 (432)	偏方复十二面体 3*2 (m3)	四半面体 332 (23)
bc晶格 (I)	8o:2 (Im3m)	4o:2 (I43m)	8+o (I432)	8−o (I3)	4oo (I23)
nc晶格(P)	4−:2 (Pm3m)	2o:2 (P43m)	4−o (P432)	4− (Pm3)	2o (P23)
	4+:2 (Pn3m)		4+ (P4232)	4+o (Pn3)
fc晶格(F)	2−:2 (Fm3m)	1o:2 (F43m)	2−o (F432)	2− (Fm3)	1o (F23)
	2+:2 (Fd3m)		2+ (F4132)	2+o (Fd3)
其他	8o (Pm3n) 8o/4 (Ia3d) 8oo (Pn3n) 4− − (Fm3c) 4++ (Fd3c)	4o (P43n) 4o/4 (I43d) 2oo (F43c)	4+/4 (I4132) 2+/4 (P4332, P4132)	2−/4 (Pa3) 4−/4 (Ia3)	1o/4 (P213) 2o/4 (I213)

下表列出索引为195-230的不可约群符号、赫曼—莫金符号（英语：Hermann–Mauguin notation）符号、纤维形符号、几何符号和考克斯特表示法：

族 (轨形（英语：Orbifold notation）点群)	空间群
四半面体 23 (332)	195	196	197	198	199
	P23	F23	I23	P213	I213
	2o	1o	4oo	1o/4	2o/4
	P3.3.2	F3.3.2	I3.3.2	P3.3.21	I3.3.21
	[(4,3+,4,2+)]	[3[4]]+	[[(4,3+,4,2+)]]
偏方复十二面体 43m (3*2)	200	201	202	203	204	205	206
	Pm3	Pn3	Fm3	Fd3	I3	Pa3	Ia3
	4−	4+o	2−	2+o	8−o	2−/4	4−/4
	P43	Pn43	F43	Fd43	I43	Pb43	Ib43
	[4,3+,4]	[[4,3+,4]+]	[4,(31,1)+]	[[3[4]]]+	[[4,3+,4]]
螺旋形 432 (432)	207	208	209	210	211	212	213	214
	P432	P4232	F432	F4132	I432	P4332	P4132	I4132
	4−o	4+	2−o	2+	8+o	2+/4		4+/4
	P4.3.2	P42.3.2	F4.3.2	F41.3.2	I4.3.2	P43.3.2	P41.3.2	I41.3.2
	[4,3,4]+	[[4,3,4]+]+	[4,31,1]+	[[3[4]]]+	[[4,3,4]]+
六四面体 43m (*332)	215	216	217	218	219	220
	P43m	F43m	I43m	P43n	F43c	I43d
	2o:2	1o:2	4o:2	4o	2oo	4o/4
	P33	F33	I33	Pn3n3n	Fc3c3a	Id3d3d
	[(4,3,4,2+)]	[3[4]]	[[(4,3,4,2+)]]	[[(4,3,4,2+)]+]	[(4,(3,4)+,2+)]
六八面体 m3m (*432)	221	222	223	224	225	226	227	228	229	230
	Pm3m	Pn3n	Pm3n	Pn3m	Fm3m	Fm3c	Fd3m	Fd3c	Im3m	Ia3d
	4−:2	8oo	8o	4+:2	2−:2	4−−	2+:2	4++	8o:2	8o/4
	P43	Pn4n3n	P4n3n	Pn43	F43	F4c3a	Fd4n3	Fd4c3a	I43	Ib4d3d
	[4,3,4]		[[4,3,4]+]		[4,31,1]	[4,(3,4)+]	[[3[4]]]		[[4,3,4]]

参考文献

• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P., On three-dimensional space groups, Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry, 2001, 42 (2): 475–507 [2014-04-28], ISSN 0138-4821, MR 1865535, （原始内容存档于2021-04-18）
• The Crystallographic Space Groups in Geometric Algebra （页面存档备份，存于互联网档案馆）, David Hestenes and Jeremy Holt, Journal of Mathematical Physics, January 2007
• The Fibrifold Notation and Classification for 3D Space Groups^{[永久失效链接]}, Daniel H. Huson, 2008
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (Paper 22) Regular and Semi Regular Polytopes I