肾形线

肾形线（nephroid）是外形类似肾脏的平面曲线，其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός （ho nephros），和肾脏科的英文nephrology有相同的字根。肾形线主要是指Richard A. Proctor（英语：Richard A. Proctor）在1878年提出的曲线，不过有时也会用来描述其他曲线^[1][2]。

肾形线可以用在一圆上滖动的圆来产生

肾形线是六度的代数曲线，可以用一个半径为 ${\displaystyle a}$的圆在半径为${\displaystyle 2a}$的固定圆上滚动而得，因此肾形线也属于外摆线，有二个尖点。肾形线是平面的简单闭曲线，因此也是若尔当曲线。

方程式

肾形线的定义

杯底的肾形线焦散

考虑一小圆在一固定圆的外面滚动，若小圆的半径为${\displaystyle a}$，固定圆的圆心在${\displaystyle (0,0)}$，半径为${\displaystyle 2a}$，小圆的滚动角为${\displaystyle 2\varphi }$，启始点为${\displaystyle (2a,0)}$（如图所示），则可以得到肾形线的

• 参数式

${\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

将 ${\displaystyle x(\varphi )}$ 和 ${\displaystyle y(\varphi )}$ 代入以下方程

• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

可知上述方程即为肾形线的隐函数表示式（英语：Implicit curve）。

若尖点是在Y轴上，则参数式为

${\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).}$

隐函数表示式为

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}$

性质

上述的肾形线，有以下的性质

• 弧长为${\displaystyle L=24a,}$
• 面积为${\displaystyle A=12\pi a^{2}\ }$
• 曲率半径为 ${\displaystyle \rho =|3a\sin \varphi |.}$