艾多尼数

艾多尼数（Idoneal number），又称合适数（suitable numbers）或方便数（convenient numbers），指的是一个有如次性质的正整数${\displaystyle D}$：若对于${\displaystyle D}$而言，任何能唯一地表示成${\displaystyle x^{2}\pm Dy^{2}}$（其中${\displaystyle x^{2}}$和${\displaystyle Dy^{2}}$互质）这种形式的正整数，都必然是质数的次方或质数的次方的两倍，则称${\displaystyle D}$为艾多尼数。特别地，在${\displaystyle D}$是艾多尼数的状况下，任何能非唯一地表示成${\displaystyle x^{2}\pm Dy^{2}}$这种形式的正整数，都必然是合成数。所有的艾多尼数都可生成包含无限多个质数、但同时也遗漏无限多个质数的集合。

词源

英语中的“idoneal”一词，来自拉丁语的“idoneus”^[1]；而拉丁语的“idoneus”的意思是“合适的、合宜的、方便的”或“足够的”。

定义

一个正整数${\displaystyle D}$是艾多尼数，当且仅当不存在三个彼此相异的正整数${\displaystyle a,b,c}$，使得${\displaystyle D=ab+bc+ac}$。^[2]

考虑{ n + k² | 3 . k² ≤ n ∧ gcd (n, k) = 1 }这样的集合是充分的，如果所有集合中的元素都是形如p、p²、2 · p或${\displaystyle 2^{s}}$这样的数（其中p是质数而s是任意正整数），那么n是艾多尼数。^[3]

猜想的完整列表

以下是莱昂哈德·欧拉和卡尔·弗里德里希·高斯发现的65个艾多尼数，而有猜想认为，这65个数就是所有的艾多尼数：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 （OEIS数列A000926）

艾多尼数和复二次域的性质相关；而从彼得·温伯格在1973年的一篇关于复二次域的证明中，^[4]可导出说除了上述的艾多尼数外，至多只有两个额外的艾多尼数；而在广义黎曼猜想成立的状况下，上述的艾多尼数就是所有的艾多尼数。此外一些文献声称，温伯格的结果可导出至多只有一个额外的艾多尼数，但这是错误的。^[5]

参见

• 未解决的数学问题